コーシーの定理の問題がわからないです

質問

∫z/{(z+1)(z-1)}dz C:z(t) = 2e^it (0<=t<=2π)という問題です。

最初に部分分数分解をするところまでわかるのですが、１/(z＋1)が0になる理由がわかりません。
解答はあるのですが、説明が少ないので、詳しく説明していただけるとありがたいです。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

←A No.1 補足
質問文中に出てきた積分路は、C だけですね。
C1 や c の定義は、どこかに書いてありませんでしたか？

山勘ですが、おそらく、
C を虚軸あたりで二つに分けて、半円の周を C1 と c にした
のではないかな？
分割線上の積分は、同じ曲線を反対方向に積分しているので
相殺されて、∫[C]f(z)dz = ∫[C1]f(z)dz + ∫[c]f(z)dz です。
C1 が z=-1 は囲まないが z=1 は囲む、
c が z=-1 は囲むが z=1 は囲まない閉路になっていれば、
コーシーの積分定理から
∫[C1] 1/(z+1) dz = 0,
∫[c] 1/(z-1) dz = 0 になります。

留数定理を 1/((z+1)(z-1)) に適用するにあたって
補足のように積分を分割したくなった理由は、サッパリ理解できませんが。

お礼

なるほど、このような例もあるといった形だったのかもしれません。先ほど解答いただいた方法で解いてみようと思います。

回答No.2

info22_

解答を書かないで、その解答について分からないと言われても回答する立場では何もコメントできません。

通常の複素積分で積分するなら、コーシーの積分定理、コーシーの積分公式、留数定理を使えば済むことです。

部分分数に展開しないで積分する方法も、部分分数に展開して積分する方法もあります。どちらを使うかは好みの問題です。
積分経路C（原点を中心とする半径2の円周）内に正則でない特異点としてz=±1の２つ存在しますので
コーシーの積分公式を使えば
　∮[C] z/{(z+1)(z-1)}dz=2πi{z/(z+1)|(z=1) + z/(z-1)|(z=-1)}
　　=2πi{(1/2)+(1/2)}=2πi

部分分数に直す方法（留数定理利用）なら
　∮[C] z/{(z+1)(z-1)}dz=(1/2)∮[C] {1/(z+1)+1/(z-1)}dz
　　=(1/2)∮[C] dz/(z+1) +(1/2)∮[C] dz/(z-1)
　　=(1/2)2πiRes(1/(z+1),-1) + (1/2)2πiRes(1/(z-1),1)
　　=πi + πi
　　=2πi

とどちらの方法でも同じ結果が得られます。

お礼

なるほど、こちらの方法で解かせていただきます

回答No.1

alice_44

0 には、なりませんよ。
∫ z/((z+1)(z-1)) dx = (1/2)∫ 1/(z+1) dz + (1/2)∫ 1/(z-1) dz
で、右辺のふたつの ∫ は、どちらも C 上で 0 ではありません。

解答の間違いか、貴方の読み違いか、どちらでしょうね。
解答の計算過程と、できれば貴方の解も、補足に書いてみては？

補足

（与式）= 1/2∫{1/(z+1) + 1/(z-1)}dz + 1/2∫{1/(z+1) + 1/(z-1)}dz
= 1/2(0+2πi）+1/2(2πi+0) = 2πi

解答はこのようになっていました。左の∫にはC1、右の∫にはcと書いてありました。