ラプラス変換に関する問題です。

質問

x_1'+x_1=1
x_2'+x_2=1
...................
x_n'+x_n=x_n-1
...................
ただし、x_1(0)=x_2(0)=..................=x_n(0)=........=0とします。
をラプラス変換によって解き、x_nとx_∞を求めるという問題です。
分かる方、よろしくお願いします。m(_ _)m

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>x_2'+x_2=1
これは「x_2'+x_2=x_1」の間違いでは?

x(t)をラプラス変換をしたものをX(s)と大文字で書くことにします。

ラプラス変換すると。
(s+1)X_1(s)=1/s → X_1(s)=1/{s(s+1)}
(s+1)X_2(s)=X_1(s)=1/{s(s+1)} → X_2(s)=1/{s(s+1)^2}
...................
(s+1)X_n(s)=X_(n-1)(s)=1/{s(s+1)^(n-1)}
→ X_n(s)=1/{s(s+1)^n}

X_n(s)を部分分数分解すると
X_n(s)=1/s -1/(s+1) -1/(s+1)^2 - ... -1/(s+1)^n
ラプラス逆変換すると
x_n=1-(e^(-t)){{1+t+(t^2)/2+ ... +(t^n)/n!}
=1-(e^(-t))Σ(k=1～n) (t^k)/k!　←答え

X_∞(s)=1/s -1/(s+1)-1/(s+1)^2-1/(s+1)^3- ...
ラプラス逆変換すると
x_∞=1-e^(-t)Σ(n=1～∞) (t^n)/n!
=1-e^(-t)*{(e^t) -1}
=e^(-t) 　←答え

お礼

回答ありがとうございました。x_2'+x_2=x_1でした。すみません。

回答No.3

alice_44

n→∞ の極限をとるとき、ラプラス変換との極限順序の交換が問題となるから、
x_n を求めてから、その式で n→∞ としよう。
x_∞ をラプラス変換した X_∞ を考えることには、正当性の証明が必要。

回答No.1

Tacosan

「...................」がどうなっているかわからないのでどうしようもありません.