ラプラス変換について

質問

exp^(-((x-3)^2)/2)のラプラス変換はどうやればいいのかわかりません。アドバイスをお願いします

回答No.2

reiman · ベストアンサー

両側ラプラス変換ならばできます。
f(x)=exp(-x^2/2)
の両側ラプラス変換をF(s)とする。
F(s)=∫exp(-x^2/2)exp(-sx)dx=exp(s^2/2)∫exp(-(x+s)^2/2)dx
=exp(s^2/2)∫exp(-x^2/2)dx=√(2π)exp(s^2/2)
g(x)=exp(-(x-3)^2/2)のラプラス変換をG(s)とすると
G(s)=exp(-3s)F(s)=exp(-3s)√(2π)exp(s^2/2)=√(2π)exp((s^2-6s)/2)

なお
∫exp(-(x+s)^2/2)dx=∫exp(-x^2/2)dx
を使ったがこれはコーシー積分定理により簡単に導かれる。

お礼

参考になりました．ありがとうございます

回答No.1

info22

初等関数の範囲では求められませんね。

大学レベルの数学なら超越関数（特殊関数）の誤差関数erf(x)または
erfc(x)=1-erf(x)を使って
F(s)=(π/√2)erfc((s-3)/√2)exp(s(s-6)/2)
となります。
上のラプラス変換は数式処理ソフトMaple, wxMaxima, Mathematicaなどで計算できますね。

お礼

参考になりました．ありがとうございます