ラプラス変換で初期値がx(1)で与えられるとき

質問

ラプラス変換について困っています。
x´＋2x-1=0の解をラプラス変換を使って求めようと思うのですが、
与えられた初期値がx(0)＝５なら
ｘ（ｔ）＝1/2 + 9/2e^(-2t)
となるのは分かるのですが、問題でx(0)＝５でなくx(1)＝５となっている場合、ラプラス変換の求め方はどこがどう変わるのでしょうか？

回答No.1

alkantala · ベストアンサー

x(t)のラプラス変換をX(s)とするとx'(t)のラプラス変換が
sX(s)-x(0) で与えられることを利用して解こうとしておられる
のだと思います。

ですがご質問のように初期条件が t=0 でない所で与えられて
いる場合、まず初期値を任意定数の様に扱って一般解を求め、
それを経由して与えられた初期条件を満たす特殊解を求める
ことになります。以下で実際にやってみましょう。

x(0)=A とおきます。(これは初期値を任意定数の様に扱うことを強調するためにこうおいています)
このときx(t)のラプラス変換をX(s)とすると
x'(t)のラプラス変換は sX(s)-A です。
したがって x'(t)+2x(t)-1=0 の両辺をラプラス変換すると
sX(s)-A+2X(s)-(1/s)=0 です。これより
X(s)=1/(s(s+2))+A/(s+2)=1/(2s)-1/(2(s+2))+A/(s+2)
逆ラプラス変換して
x(t)=(1/2)+(A-1/2)e^{-2t}
ここで (A-1/2) を C と書き換えると（書き換えなくてもよい）
一般解
x(t)=(1/2) + Ce^{-2t} (Ｃは任意定数)
が得られます。この一般解から初期条件
x(1)=5
を満たすＣの値を求めると
5=x(1)=1/2+Ce^{-2} より C=(9/2)e^2
従って求める特殊解は
x(t)=(1/2)+(9/2)e^{-2(t-1)}
です。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。
とても分かりやすかったです。
また自分でも解きなおしてみます。ありがとうございました。

回答No.2

eatern27

y(t)=x(t+1)で定義すれば、初期条件はy(0)=5になります。(微分方程式の形は変わりません)

お礼

出来ました！
ありがとうございました。