ラプラス変換

質問

(x1(t))'=-x1(t)+x2(t)
(x2(t))'=-x2(t)+u(t)
という問題で、初期値
x1(t)=x2(t)=0
ここで、
2 (0<=t<=1)
u(t)= -1 (1<=t<=2)
0 ( t>=2 )
このときの応答x1(t)を求めよ。

但し、’は一階微分のことで、<= は以上という意味です。
この回答をできるだけ詳しくおねがいします。
たぶん、ラプラス変換の問題だと思うのですが、自分でしたら以下のところでつまりました。
L^(-1)[1/{(s+1)^2}*U(s)]= ??

L^(-1)は、[]の中の逆ラプラス変換で、u(t)をラプラス変換するとU(s)。

回答No.1

nuubou

微分方程式を両辺ラプラス変換すると
ｓＸ１＝－Ｘ１＋Ｘ２
ｓＸ２＝－Ｘ２＋Ｕ
従って
Ｘ１＝Ｕ／（ｓ＋１）＊＊２
ところで
Ｕ＝（２－３・ｅｘｐ（－ｓ）＋ｅｘｐ（－２・ｓ））／ｓ
従って
Ｘ１＝（２－３・ｅｘｐ（－ｓ）＋ｅｘｐ（－２・ｓ））／ｓ／（ｓ＋１）＊＊２
あとは
１／ｓ／（ｓ＋１）＊＊２＝１／ｓ－１／（ｓ＋１）－１／（ｓ＋１）＊＊２
をＸ１の式に代入してラプラス変換評を使って解けばよい