3変数の場合の最小値の求め方‐偏微分を用いた方法で

質問

f(x,y,z)=zy/(z+y-x)の関数があります。
1) z≧x≧y
2)0≦x,y,z≦1(x,y,zはいずれも0から1の間)
の2つの条件があります。ここに
3)x≧0.8, y≧0.65
の条件が加わった場合のf(x.y.z)の最小値を求めるというのが問題です。

解き方として考えたのは
f(x,y,z)をx,y,zそれぞれで偏微分を行ったところdf(x,y,z)/dx>0, df(x,y,z)/dy>0, df(x,y,z)/dz<0であるから
3)の条件よりx=0.8、y=0.65, z=1の時が最小値をとり0.76が最小値である、
というのを考えたのですが正しいでしょうか。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

大体、正しいね。
少し以下のように、補足し手を加えた方がいいけど。

>3)の条件より
ではまずい、
「1),2),3)の(x,y,z)の取りうる領域では」
としましょう。

この領域では、f(x,y,z)の分母=z+y-x=(z-x)+y>0となる。
ことにも触れておきたいですね。
その上で
>df(x,y,z)/dx>0, df(x,y,z)/dy>0, df(x,y,z)/dz<0であるから
xについてf(x,f,z)は単調増加、
yについてf(x,f,z)は単調増加、
zについてf(x,f,z)は単調減少
である。

従って
>x=0.8、y=0.65, z=1の時が最小値をとり0.76が最小値である、
小数以下2桁の指定がない限り「0.76」ではなく
正確を期して
「x=0.8、y=0.65, z=1の時が最小値をとり
　f(0.8,0.65,1)=0.65/(1+0.65-0.8)=65/85=13/17(=0.7647…)
が最小値である」
とでもしておきましょう。

#）x=0.8+ΔxでΔx<0にはならないね。(∵xの条件から0.8≦x≦1)

お礼

大変わかりやすく参考になりました。
もう1題投稿したのですがそちらも見て頂けないでしょうか。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8157685.html

回答No.5

noname#199771

「解き方として考えたのは」～「というのを考えた」
は意味不明ですし、最小値は0.76ではありません。

偏微分にこだわらなければ、条件を満たす任意のx,y,z
に対して、符号に注意しつつ以下のように評価するやり
方があります。

f(x,y,z)
=zy/(z+y-x)
=y(1+((x-y)/(z+y-x)))
≧y(1+((x-y)/(1+y-x)))
=y/(1+y-x)
≧y/(1+y-0.8)
=1-(0.2/(y+0.2))
≧1-(0.2/(0.65+0.2))
=13/17

となるので、もし最小値が存在するなら13/17以上です。

実際f(0.8,0.65,1)=13/17なのでこれが最小値になります。

お礼

ありがとうございます。

もう1題投稿したのですがそちらは如何でしょうか。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8157685.html

回答No.3

alice_44

貴方は、臨界点上での関数値を求めた訳だが、
その臨界値が極小値であることさえ示していない。

最小値であることを示すためには、境界値とも
比較する必要がある。
求めた臨界値が最小値であることに確信があれば、
極小性は飛ばして、境界値と比較してしまえば、
定義域全域で微分可能な関数の最小値の求めかた
としては、正解となる。

これは、
値がたまたま当たっているかどうかではなく、
導きかたがに論理の飛躍が無いかどうかの話。

補足

xでの偏微分が1)-3)の条件下では正、yの偏微分も正、zの偏微分は負であるのでxの取り得る最小値である0.8、yの取り得る最小値0.65、zの取り得る最大値1の臨界点(0.8, 0.65,1)が最少値(極小値)である、という表現では間違いでしょうか。

回答No.2

yyssaa

＞失礼しました。
y,zについても確認できればいいでしょう。

お礼

ありがとうございました。

もう1題投稿したのですがこちらはいかがでしょうか。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8157685.html

回答No.1

yyssaa

＞f(0.8+△x,0.65,1)-f(0.8,0.65,1)
=0.65/(1+0.65-0.8-△x)-0.65/(1+0.65-0.8)
=0.65/(0.85-△x)-0.65/(0.85)=0.65△x/{(0.85)(0.85-△x)}
△x＜0のとき0.65△x/{(0.85)(0.85-△x)}＜0、
従ってf(0.8+△x,0.65,1)＜f(0.8,0.65,1)となるので、
f(0.8,0.65,1)は最小値ではないでしょう。

補足

xは0.8以上ですからΔx>0なのでやはりf(0.8, 0.65, 1)が最小値で良いのではないでしょうか。

そもそもzy/(y+z-x)の形なのでxに関してはxが増加するほど小さくなるのは明らかのように思うのですがいかがでしょう。