方程式、不等式の問題です。

質問

数学が苦手なのでよろしくお願いします。

2次方程式Ｘ(2乗)＋4Ｘ＋a＝0が異なる二つの整数解α、βをもつ。a〉0、α2(2乗)〈β2のとき、2αー3βの値を求めよ。

部活動の卒業生全員で記念品を購入することになった。1人当たり300円ずつ集めると必要額に500えん不足し、330円ずつ集めると必要額を超過する。先生が1000円負担する場合には、280円ずつ集めると必要額を150円以上超過する。必要額はいくらか求めよ。

絶えず水が湧き出して溢れている井戸がある。この井戸の水は、ポンプ2台で8分、ポンプ3台で5分で汲み尽くせる。この井戸の水をポンプ5台で汲み出す場合、何分で汲み尽くせるか求めよ。

2次方程式Ｘ2(2乗)ー2aＸ＋3a＋4＝0が実数解を持たないような定数aの整数値はいくつあるか求めよ。

以上の問題の解き方がわかりません。一つでも良いのでよろしくお願いします。

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

問題の三題目）
>絶えず水が湧き出して溢れている井戸がある。この井戸の水は、ポンプ2台で8分、ポンプ3台で5分で汲み尽くせる。この井戸の水をポンプ5台で汲み出す場合、何分で汲み尽くせるか求めよ。

井戸の水の容量A（リットル）と毎分湧き出す水の量をB(リットル/分)とする。ポンプ一台の毎分の汲み出し量をC(リットル/分)とすると

「この井戸の水は、ポンプ2台で8分、ポンプ3台で5分で汲み尽くせる。」から　
　A=(2*C-B)*8 ...(1)
　A=(3*C-B)*5 ...(2)
　A=(5*C-B)*t ...(3)
(1),(2)からB,C,tを求めると
　B=A/40 , C=3A/40, t=20/7(分)（≒2(分)51(秒)）

ここまで。

お礼

ありがとうございます。しっかり勉強したいと思います。

回答No.5

noname#187220

＃答えが割り切れない数字だったのでちょっと不安ですが。

> 絶えず水が湧き出して溢れている井戸がある。この井戸の水は、
> ポンプ2台で8分、ポンプ3台で5分で汲み尽くせる。この井戸の水を
> ポンプ5台で汲み出す場合、何分で汲み尽くせるか求めよ。

ポンプが1分間にくみ出す水の量を pリットル、
井戸に溜まっている水の量を x リットル、
1分間に井戸からわきだす水の量を d リットル,
5台の時に、t 分で汲みつくせるとする。

ポンプ 2台で 8 分かかるので
　2p × 8 = x + 8d …(1)
ポンプ 3台で 5分かかるので
3p × 5 = x + 5d　…(2)
5台の時
　5p × t = x + td …(3)

(1)より、　16p = x + 8d … (1)’
(2)より、　15p = x + 5d …　(2)’

(1)'- (2)’より　p = 3d … (4)
(4)を(2)’に代入
　15×3d = x + 5d
45d - 5d = x
　x = 40d … (5)
(3)に(4)、(5)を代入
5×3d×t = 40d + td
14 td = 40d
d > 0 より　14t = 40
t = 40/14 = 20/7

答え 20/7 分

回答No.4

noname#187220

1 つだけ解いてみました。

(問)　2次方程式Ｘ2(2乗)ー2aＸ＋3a＋4＝0が実数解を持たないような
　　定数aの整数値はいくつあるか求めよ。

x^2 - 2ax + 3a + 4 = 0
(x-a)^2 - a^2 + 3a + 4 = 0
(x-a)^2 = a^2 - 3a -4
(x-a)^2 = (a+1)(a-4)

x が解を持たない時、 (x-a)^2 < 0
よって (a+1)(a-4) < 0
-1 < a < 4
この不等式を満たす正数値は　0, 1, 2, 3
答え　4　個

＃　問題が解決した場合は、ベストアンサーを選んで下さると
＃　うれしいです。解決したとわかるから。
＃　わからなければ補足を下さい。

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。

回答No.3

info22_

問題の二題目）
記念品を購入必要額をA円、部員卒業生人数をB人とすると
「1人当たり300円ずつ集めると必要額に500えん不足」から
　300B=A-500 ...(1)

「330円ずつ集めると必要額を超過する」から
　330B>A　...(2)

「先生が1000円負担する場合には、280円ずつ集めると必要額を150円以上超過する」から
　1000+280B≧A+150　...(3)

(1)より
　B=(A-500)/300≧1 ⇒ A≧800 ...(4)
　A=500+300B ...(5)
(5)を(2),(3)に代入整理すると
　330B>500+300B ⇒ 30B>500 ⇒ B>50/3=16.6…
Bは正整数だから　B≧17 ...(6)
　1000+280B≧500+300B+150 ⇒ 350≧20B ⇒ B≦35/2=17.5
Bは正の整数だから　1≦B≦17 ...(7)

(6)かつ(7)を満たす正整数B（部員卒業生人数）は　B=17（人）...(8)

(5)から集める必要額Aは　A=500+300*17=5600　(円)　...（答え）

取り敢えずここまで。

回答No.2

info22_

問題の一題目）
>2次方程式Ｘ^2＋4Ｘ＋a＝0 ...(1)
が異なる二つの整数解α、βをもつ。a〉0、α^2〈β^2のとき、2αー3βの値を求めよ。

2乗の書き方を覚えましょう。

異なる二つの実数解α、βを持つ条件から
判別式D/4=4-a>0
a>0より　0<a<4 ...(2)

2次方程式の解と係数の関係から
α+β=-4 ...(3)
αβ=a ...(4)
(4)でα,β(α^2<β^2)は異なる整数だからaは整数。
(2)から
a=1,2,3 ...(5)
このとき(4)でαβ=a>0よりα,βは同符号であることが分かる。
(3)から、α、βは同符号で、かつ　和が負の整数であるから
α、βは共に負の整数であることが分かる。
α^2<β^2　と　(3)と(5)から
　（α,β）=(-1,-3)
よって
　2αー3β=-2+9=7 ←　答え

他の問題は問題数が多いので別回答とします。

回答No.1

banri_kashii

教科書読め。全部中学レベルです。