不等式の問題です。教えてください！

質問

不等式３＜x＋１＜６・・・(1)と二次方程式xの二乗＋ax＋b-９=０・・・(2)（a,bは定数）
があり、(2)はx=３を解にもつ。

（１）(2)の解がすべて(1)をみたすようなaの値の範囲を求めよ。
（２）(1)を満たすすべてのxが不等式a(x-a)＜b（x-１）を満たすようなaの値の
　　範囲を求めよ。ただし、aは０ではないとする。

考え方がよく分かりません。
詳しい解説をよろしくお願いします！

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

（１）(2)の解がすべて(1)をみたすようなaの値の範囲を求めよ。
＞x^2+ax+b-9=0にx=3を代入すると3^2+3a+b-9=0、b=-3aだから
(2)式はx^2+ax-(3a+9)=0となり、これをxについて解くと
x=[-a±√{a^2+4(3a+9)}]/2={-a±√(a^2+12a+36)}/2
={-a±√(a+6)^2}/2={-a±(a+6)}/2
よって、x={-a+(a+6)}/2=6/2=3とx={-a-(a+6)}/2=-a-3
3＜x+1＜6・・・(1)は2＜x＜5、上のxの解のうちx=3は
条件を満たしているので、2＜-a-3＜5、各項に-1をかけて
-2＞a+3＞-5、よって-5＞a＞-8・・・答
（２）(1)を満たすすべてのxが不等式a(x-a)＜b（x-１）を満たすようなaの値の
　　範囲を求めよ。ただし、aは０ではないとする。
＞3＜x+1＜6・・・(1)は2＜x＜5、b=-3aだから
a(x-a)＜b(x-1)はa(x-a)＜-3a(x-1)、ax-a^2＜-3ax+3a
xについて整理すると4ax＜3a+a^2、a≠0だから両辺を
aで割って、a＞0の場合は4x＜3+a、x＜(3+a)/4・・・(ア)
a＜0の場合は4x＞3+a、x＞(3+a)/4・・・(イ)
2＜x＜5の範囲のxが(ア)を満たすためにはx＜5≦(3+a)/4、
よって5≦(3+a)/4から20≦(3+a)、17≦a・・・(ウ)
2＜x＜5の範囲のxが(イ)を満たすためには(3+a)/4≦2＜x、
よって(3+a)/4≦2からa≦5となるが、(イ)はa＜0の場合
なので、a≦5とa＜0の共通範囲をとってa＜0・・・(エ)
以上から17≦a又はa＜0・・・答

お礼

回答して下さってありがとうございます！
考え方が分かりました！
参考にします。