アステロイドのパラメータ表示

質問

原点を中心とする半径4の円Ｃに半径1の円Ｃ'が内接しながら滑ることなく4回転して元の位置に戻るとき、Ｃ'上の点P(x,y)が描く奇跡をＫとし点Pが最初点(4,0)にあるとすると曲線Ｋの方程式が以下で与えられることを示せ
x=4cos^3θ
y=4sin^3θ
(0≦θ≦2π)

示し方を教えてください！

回答No.1

masa072

大円に内接する小円の点の軌跡ですから、アステロイドと考えるよりハイポサイクロイドと考えるのが適当です。

以下のサイトがわかりやすいかと思います。
http://www.phoenix-c.or.jp/~tokioka/Hypocycloid/Hypocycloid.html

ここで求めた
x=3cosθ+4cos3θ,y=3sinθ-4sin3θに、
それぞれ3倍角の公式
cos3θ=4cos^3θ-3cosθ
sin3θ=3sinθ-4sin^3θ
を代入することで求められます。

お礼

分かりました
ありがとうございました