急いでます!10岡山大理系数学

質問

原点を中心とする半径1の円をC_1とし、原点を中心とする半径1/2の円をC_2とする。
C_1上に点P_1(cosθ,sinθ)があり、また、C_2上に点P_2(cos3θ/2,sin3θ/2)がある。
ただし、0≦θ＜π/2とする。線分P_1P_2の中点をQとし、点Qの原点からの距離をr(θ)とする。
(1)点Qのx座標のとりうる範囲を求めよ。
(2)点Qがy軸上にあるときのθの値をαとする。このとき、αおよび定積分
∫α
0 ｛r(θ)｝^2dθを求めよ。

∫の上端がα、下端が0です。

岡山大の理系数学の問題ですm(_ _)m

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)　点Qの座標をQ(x,y)　としますと、x,y　は次のようにθで表せます。
　　x=(1/2){cosθ+(1/2)cos(3θ)}
　　y=(1/2){sinθ+(1/2)sin(3θ)}
　　　　ただし、　0≦θ<π/2

　次にこのxをcosθ=t (0<t≦1)　だけで表します。
　　x=(1/2){cosθ+(1/2)cos(3θ)}
　　　=(1/2)cosθ+(1/4)[{cos(3θ)}^3-4cos(3θ)]　　←3倍角の公式を利用。
　　　=(cosθ)^3-(1/4)cosθ
　　　=t^3-(1/4)t
　　　=t(t+1/2)(t-1/2)

　このことから、tの定義域が実数全体とすると、グラフx(t)はt-x平面でt=0,±1/2 でt軸と交わる3次関数であることが分かります。
　極値を求めるために、このｘをｔで微分しますと
　　dx/dt=3t^2-1/4
となりますので、dx/dt=0 となるのは　t=±1/(2√3) のときですで、このときのxの値は
　　t=±1/(2√3)　のとき　x=干1/(12√3)　（複号同順）
となります。
　ただし、ｔの取りうる範囲は　0<t≦1 ですので、この範囲でのxの最大・最小を求めますと、
　　xの最大値：　t=1 のとき　　　　 x=3/4
　　xの最小値：　t=1/(2√3) のとき　x=-1/(12√3)
となりますので、xの取りうる範囲は次のようになります。
　　∴　-1/(12√3)≦x≦3/4

(2)　x=0 のとき　x=t(t+1/2)(t-1/2), 0<t≦1　から　t=1/2　となりますので、0≦θ<π/2　の範囲ではθは次のようになります。
　∴θ=π/3　　∴α=π/3

　次に {r(θ)}^2　を求めます。
　　{r(θ)}^2=x^2+y^2
　　　　　　　=(1/4)[{cosθ+(1/2)cos(3θ)}^2+{sinθ+(1/2)sin(3θ)}^2]
　　　　　　　=(1/4)[(cosθ)^2+(sinθ)^2+(1/4){cos(3θ)^2+sin(3θ)^2}+{cosθcos(3θ)+sinθsin(3θ)}]
　　　　　　　=(1/4){5/4+cos(2θ)}　　　←加法定理から

　これらを使って　与えられた定積分を求めます。
　∫[θ=0→α] {r(θ)}^2 dθ
=∫[θ=0→π/3] (1/4){5/4+cos(2θ)} dθ　
=(1/4) [(5/4)θ+(1/2)sin(2θ)][θ=0→π/3]
=(1/4)(5π/12+√3/4)
=(5π+3√3)/48

　　計算ミスがあったらごめんなさい。

お礼

遅れてすみません。ありがとうございました。

回答No.2

info22_

何処が分からないのでしょうか？
分かるところまでの自力解答を書いて、行き詰っている箇所の何処が分からないのかを聞いて下さい。

解き方
(1)Q(x_q,y_q)
x_q={cosθ+cos(3θ)/2)}/2
y_q={sinθ+sin(3θ)/2}/2
cosθ=t(0＜t≦1)とおくと
θ:0～π/2の時　t：1～0
x_q=t^3 -t/4=f(t)
f'(t)=3t^2 -1/4
f'(t)=0より t=1/(2√3)
f(1/(2√3)=-(√3)/36
f(1)=3/4
t=0～1までの増減表を描く（グラフの概形も描く）
-(√3)/36≦x_q≦3/4
θ=0(t=1)の時最大値3/4
θ=arccos(1/(2√3)の時最小値-(√3)/36

(2)
x_q=f(t)=t^3 -t/4=0(0<t≦1)から
t(t^2 -(1/4))=0
t=cosθ=1/2
0≦θ<π/2より
θ=π/3=α

r(θ)^2=x_q^2+y_q^2={cos^3θ+cosθ/4}^2+{sinθ(5-4sin^2θ)/4}^2
=(1/16)+(1/2)cos^2θ

∫[0,π/3] {(1/16)+(1/2)cos^2θ}dθ
　=(π/48)+(1/4)∫[0,π/3]{1+cos(2θ)}dθ
　=(π/48)+(π/12)+sin(2π/3)/8
=(5π/48)+(√3)/16
=(5π+3√3)/48

お礼

遅れてすみません。ありがとうございました。