高校数学のベクトルのパラメータ表示の問題です

質問

原点をOとし平面上の2点A(0,1),B(0,2)をとる　OBを直径とし点(1,1)を通る半円をTとする　長さπの糸が一端をOに固定してTに巻きつけてある　この糸の他端Pを引き、それがx軸に到達するまで、ゆるむことなくほどいてゆく　糸と半円との接点をQとし　∠BAQの大きさをtとする

(1)ベクトル↑OPをtを用いて表せ
(2)Pが描く曲線とx軸およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ
(3)Pが描く曲線の誇長を求めよ

↑OP=↑OA+↑AQ+↑QP

=(0,1)+{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}

とあったのですが↑OAが(0,1)は分かるのですが、↑AQ+↑QP
が{cos(π/2-t),sin(π/2-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}となるのが

分かりません、多分↑AQが{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}になると思うのですが、角度がπ/2-tになるのが分かりません ↑QP
の角度π-tも分からないので、よろしくです

回答No.22

noname#199771 · ベストアンサー

#21補足について。

そういうことです。

図では鈍角みたいになってますが
そうとは限らないことに注意。

お礼

ありがとうございました～

補足

有難うございます、これで、やっとこの問題は理解することが出来ました、長いことどうもありがとうございました～

回答No.21

noname#199771

#20の補足について。

＞cosの前に-が付くのが分からないです

質問文に貼り付けられた図では鈍角だから
ベクトルAQのy成分が負になります。
π-鈍角＝鋭角なのでcosを取ると正の数
になるのでマイナスをつけて負になります。

tが鋭角のときはベクトルAQのy成分が正
になります。
π-鋭角＝鈍角なのでcosを取ると負の数
になるのでマイナスをつけて正になります。

tが直角のときはベクトルAQのy成分は0です。
π-（π/2）＝π/2でcosを取ると0となります。
もちろんマイナスをつけても0です。

符号が合うように調整してあるのです。

お礼

御返答有難うございます

補足

>y成分が負
これはy成分が下向きだからって事ですよね？上向きが正ですから、x成分が正なのも右向きだからですよね

回答No.20

noname#199771

#19の補足。

なにやら難しく考えてすぎに見えますが
∠mQXを符号付き角度にしたんですね。
そういうのは一般的ではないけど言わんと
していることは伝わる。

最後の等式が惜しい。
最後の式の2項目の符号は＋でなくて－。

なんとなく光が見えてきた気がするので、
極座標について基本事項の練習をオススメ
します。

お礼

補足を書いた後に気づいたので、こちらに書きますが
解答NO2で別の方がＡＱのｙ成分を-cos(π-ｔ)としていらっしゃったのですが、偏角は分かるのですが、cosの前に-が付くのが分からないです、何故-がつくのか教えてください

補足

∠PQm=π/2+(π/2-t)(∠mQXは↑AQの偏角)=π-tでしたね

回答No.19

noname#199771

#18の補足について。

＞π/2です

それならわかるなら#11はわかりますよね？
同じこと言ってるんですから。

ちなみに#11というのはこの質問の回答No.11
のことです。

お礼

御返答有難うございます

補足

こう考えてみました、まずQからx軸に平行な直線を引いてそれをmと置きます、そして∠mQXが偏角AQと同じで負の値ですから-∠mQX+∠PQm=π/2として
∠PQm=π/2+∠mQX=π/2+(t-π/2)(∠mQXは↑AQの偏角)
考え方とか合ってますか？

回答No.18

noname#199771

＞どう考えても、その関係が分からないです

#11のことですか？
何度も説明してるんですけどねぇ。

＞図等での説明を

だからそれを自分でやってくださいと
言っているわけですが。

なぜこれを他人に要求するのか理解に苦しみ
ますが、手順を書くのでその通りやってください。

・問題文にある図をそのままノートに写しとる
　ただし大きさはノート半ページくらい使って
　できるだけ大きく
・赤えんぴつ（ボールペンでも可）を用意
・定規をAQに沿って当てて、QからAQを延長
　するようにして線分を引く、ただし線分の長さ
　はAQと同じになるように
・赤い線の右下の端の点をXとして、角XQP
　は何になりますか？

＞この問題集は後2,3問で終わりなので、それが
＞終わったら違うのをやることにします

悪いけど、それらに手を付けずにすぐ切り替えた
方がいいと思いますよ。

お礼

御返答有難うございます

補足

>なぜこれを他人に要求するのか理解に苦しみ
>ますが、手順を書くのでその通りやってください。
自分でも何回も書いてやってみるんですが、なかなか理解できないです

>赤い線の右下の端の点をXとして、角XQP
>は何になりますか？
π/2です

>悪いけど、それらに手を付けずにすぐ切り替えた
>方がいいと思いますよ。
後2問だけだし、途中でやめたら何か気持ちわるいので、これだけは最後までやってみます

回答No.17

noname#199771

#15の補足。

＞Qからx軸に平行な直線を引いてその
＞直線とQPで囲まれた角が偏角なので、
＞そこを求めようとしていますが

そのようにAQを無視してはダメです。

ベクトルAQをπ/2回転したものが
ベクトルQPになるという関係を使って
ください。

他の質問をみて思いましたがあなたが
使われている問題集はレベルが少々
高すぎるのでは？基礎的な理解をする
ための教材に切り替えたほうがいいよう
に思います。急がばまわれですよ。

お礼

御返答有難うございます

補足

>ベクトルAQをπ/2回転したものが
>ベクトルQPになるという関係を使って
>ください。
そこを何とかしようとしているのですが、どう考えても、その関係が分からないです、大変申し訳ないのですが、図等での説明をお願いできませんでしょうか、言葉だと限界があるような気がします

>基礎的な理解をする
>ための教材に切り替えたほうがいいよう
>に思います。急がばまわれですよ。
この問題集は後2,3問で終わりなので、それが終わったら違うのをやることにします

回答No.16

gohtraw

ちょっと頭を冷やしたので忠告。

berokandaさんの、「めんどくさくてもいちいちノート
に図を描きましょう」は全面的に同意。

ついでにいえば、自分の考えた道筋は、文章にして
紙に書く。どこが判って、どこが判らないか、頭が
整理できるので。

それから、berokandaさんと私は同じことを言っている
かもしれないが、少なくとも表現は違っている。その
両方を並行して処理するのは（失礼ながら）今の
あなたには無理だと思う。まずはどちらかの説明を
しっかり読んで理解することをお勧めする。

お礼

御返答有難うございます

補足

>自分の考えた道筋は、文章にして
>紙に書く。どこが判って、どこが判らないか、頭が
>整理できるので。
分かりました、やってみます

>berokandaさんと私は同じことを言っている
>かもしれないが、少なくとも表現は違っている
両方必要な解法だと思うので、習得したいです

貴方の一旦AQの偏角をsinで表してからcosで表しなおすと偏角が求まるというのは分かりやすかったです、そちらは分かったんですが、後はQPの偏角にπ/2を足すというやり方がまだわかりません

回答No.15

noname#199771

＞上手く偏角が求まりません

何度も言っているように、AQがわかる
のだからそれにπ/2を足すだけ。
図を描いたのなら一目瞭然のはず。

求まるとかなんとかいう話ではないです。

じゃあAQはわかるんですか？

話が堂々巡りしている気がする。
このサイトで問答していて進展はありました？

お礼

御返答有難うございます

補足

>AQがわかる
>のだからそれにπ/2を足すだけ。
AQはAからx軸に平行な直線を引いて、その直線とAQとで囲まれた角度と言うことでπ/2-tとして求まりました

ここから同じように、Qからx軸に平行な直線を引いてその直線とQPで囲まれた角が偏角なので、そこを求めようとしていますが、AQとの偏角の関係が分からないです

回答No.14

noname#199771

#13の補足。

＞始点を合わせるようにしない
＞と分かりづらいです

その後にあなたが書いたとおり
にやってみればいいです。
なぜ手を動かして確かめようと
しないんですか？

図形の問題は頭のなかだけで
考えてはダメです。
めんどくさくてもいちいちノート
に図を描きましょう。

お礼

御返答有難うございます

補足

>その後にあなたが書いたとおり
>にやってみればいいです。
やりましたが、上手く偏角が求まりません、始点をQに揃えた場合のQPの偏角をどうやって出すか教えてください

回答No.13

noname#199771

#11の補足について。

ベクトルAQをAを中心にして90度
回転させるとベクトルQPと同じ向き
になるってことです。

もしかしてベクトルの基本的な操作に
あまり慣れていない？

お礼

御返答有難うございます

補足

>ベクトルAQをAを中心にして90度
>回転させるとベクトルQPと同じ向き
>になるってことです。

始点を合わせるようにしないと分かりづらいです、QPの始点はQですが、AQの始点のAをQに合わせて考えることは出来ますか？

回答No.12

gohtraw

ベクトルＡＱをｘ成分とｙ成分に分解してごらん。
Qからｙ軸におろした垂線とｙ軸との交点をＲとしたら、
ベクトルＡＱのｘ成分はベクトルＲＱじゃない？
同じくｙ成分はベクトルＡＲじゃない？

なんで「ｙ軸に下ろした垂線だから」「ｘ成分ではない」
と思えるかな？

お礼

御返答有難うございます