アステロイド曲線の長さについて

質問

半径８０ｃｍの円に内接するアステロイド曲線の長さを教えて下さい。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

半径 a の円に内接するアステロイドの式は
(1)　　x^(2/3) + y^(2/3) = a^(3/2)
です．
対称性から，第１象限(x>0，y>0)だけ考えておけば十分です．
(1)を x で微分して
(2)　　(2/3)x^(-1/3) + (2/3)y^(-1/3)(dy/dx) = 0
ですから
(3)　　dy/dx = -(y/x)^(1/3)
で，
(4)　　√{1+(dy/dx)^2} = √{1+(y/x)^(2/3)} = (a/x)^(1/3)
になります．
長さの公式から
(5)　　L = 4 ∫(0～a) √{1+(dy/dx)^2} dx
　　　　 = 4 ∫(0～a) (a/x)^(1/3) dx = 6a
が得られます．

a = 80 cm なら，１周は 480 cm ということになります．