三線座標による内接円の方程式、wikipediaより

質問

まず、三線座標というのがあるのですが、
http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/triangle/node5.html
を参照してください。そして、
wikipediaの三角形の内接円と傍接円によると、次のように書かれています。

x : y : z を三線座標であらわしたときの点の座標は、
u = cos^2(A/2), v = cos^2(B/2), w = cos^2(C/2)
とすると、円上の点に対して以下の式が成り立つ。
内接円: u^2x^2 + v^2y^2 + w^2z^2 - 2vwyz - 2wuzx - 2uvxy = 0

その一般的事実に興味を持って数時間考えているのですが、うまくいきません。
たとえば、内接円の中心から辺ACに垂線を下ろし、その点をθだけ回転させた内接円上の点は、次のようにかけます。(rは内接円の半径)
y = r-rcosθ = 2rsin^2(θ/2)
z = r-rcos(180-A-θ) = r+rcos(A+θ) = 2rcos^2(A/2 + θ/2)
x = r-rcos(180-C+θ) = r+rcos(C-θ) = 2rcos^2(C/2 - θ/2)
これらの比を考えて、
x:y:z = cos^2(C/2 - θ/2):sin^2(θ/2):cos^2(A/2 + θ/2)
これからθを消去すればいいはずですが、うまくいきません。

その方法でも別のもっとうまい方法でもいいので、
三線座標による内接円の方程式を示せた方はどうか教えてください。

回答No.1

kup3kup3 · ベストアンサー

こんにちは。参考意見です。

y = r-rcosθ・・・(1) ，z = r+rcos(A+θ)・・・(2) ,
x = r+rcos(C-θ) ・・・(3) の式を確認しました。この式でよいと思います。
そこで半角にしないで、このままの式で「r,θを消去する」と考えるとどうでしょう。

そして、計算している内に
◎三線座標で使う方程式は、「座標x,y,zをt倍しても成り立つ」必要があると
理解しました。

最初に、
　三線座標なので上の式をrで割って　Y=1-cosθ,Z= 1+cos(A+θ),X= 1+cos(C-θ)
から　θを消去しようとしたら、まず、以下に示す(**)の式でr=1として
(sinA)x+(sinB)y+(sinC)z=sinA+sinB+sinC...(**)
でX,Y,Zの1次式が出ますが、これはX,Y,Zを例えばt倍したとき、
(sinA)(tx)+(sinB)(ty)+(sinC)(tz)=t(sinA+sinB+sinC)
となってしまいおかしくなります。

◎したがって「射影空間で考える様に同次方程式=0」のようにならないといけない。
さて、計算すると
(1)から、-rcosθ=y-r ...(4)。 また(2)から、
z-r=(rcosθ)cosA-(rsinθ)sinA=(r-y)cosA-sinA(rsinθ)
sinA(rsinθ)=(r-z)+cosA(r-y) ...(5)。 (3)から同様にして
sinC(rsinθ)=(x-r)+cosC(y-r) ...(6) 。 (5),(6)から
　sinA(x-r)+sinAcosC(y-r)=sinC(r-z)+sinCcosA(r-y)
⇔　sinA(x-r)+sinB(y-r)+sinC(z-r)=0 ...(*)
（ここで　sinAcosC+cosAsinC=sin(A+c)=sinBを用いました）
⇔(sinA)x+(sinB)y+(sinC)z=r(sinA+sinB+sinC)...(**)

そして、{(sinA)×(4)}^2+(5)^2から　
(sinA)^2・r^2=(y-r)^2+(z-r)^2+2(z-r)(y-r)cosA　

よって　y^2+z^2+2(cosA)yz-4ru(y+z)+4u^2・r^2=0 ...(#)
となります。これでθが消去されたので、あとは、
(*)または(**)と、(#)から「rを消去すれば」求める式がでるはずなんですが、
計算がものすごく複雑でまだできていません。
ただ、x,y,zの2次の同次方程式=0の形になることは分かります。