この問題教えてください！

質問

この問題教えてください！
k>0とする。原点をOとする座標平面において, 2点A, Bは曲線y=(1/k)x^2上にあり, かつ△OABは正三角形とする。また, △OABの内接円をSとし, Cをその中心とする。
(1) 中心Cの座標を求めよ。
(2) 円Sの方程式を求めよ。
(3) Tを中心D(3k, -2k), 半径kの円とする。T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて, その接点をE, Fとする。線分CPの長さをtとして, 内積CE•CFをkとtを用いて表せ。
(4) 点Pが円T上を動くとき, 内積CE•CFの最大値と最小値を求めよ。

回答No.1

nyankororing · ベストアンサー

◆方針
・この正三角形は左右対称ゆえ、原点Oを頂点とする逆三角形。
・辺ABは水平線。Aの座標（ｋ√3，3k）、　Bの座標（-ｋ√3，3k）
・辺ABとｙ軸の交点をＫとするとそれは（0,3k）

(問1) 中心Ｃの座標を求めよ。⇒
Ｃは、ＯＫを２：１に内分した点（重心）だから　答（０,2k）

(問2) 円Sの方程式を求めよ。⇒
半径＝ｋだから、　　答　ｘ^2＋(y-2k)^2＝k^2　　（K>O）

(問3) Tを中心D(3k, -2k), 半径kの円とする。T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて, その接点をE, Fとする。線分CPの長さをtとして, 内積CE•CFをkとtを用いて表せ。⇒

図【図はご自分で描いて下さい。ここには描けないので、有るつもりで読んでください。
図を描くのは決して難しくありません】
　円Ｔ上の点をＰとする。直角三角形ＰＣＥを考えて、∠CPE＝θとする。すると
・sinθ＝CE/PC　＝半径/ｔ　＝k/ｔ　　（問題文が　PC＝ｔと指定している）―――★
・円Ｓで、∠ECF＝φとおくと、四角形PECFで　φ＝180°-２θ
・cosφ＝cos（180°-２θ）＝－cos２θ　公式利用した　＝－｛1-２(sinθ）^2｝
・★を代入して、cosφ＝－｛1-2(k/t)^2｝
・求める内積は、(べCE)・(べCF)＝|べCE ||べCF |cosφ
　＝ｋ×ｋ×cosφ　＝－ｋ^2｛1-2(k/t)^2｝
　＝ｋ^2｛2(k/t)^2　―１｝　⇔(3)の答。―――★★

(問4) 点Pが円T上を動くとき, 内積CE•CFの最大値と最小値を求めよ。⇒

・直線CDを作ると、CDと円Tとの2個の交点P1、P2がある。Cに近いのをP1とする。
・ｔの最小値＝CP1、ｔの最大値＝CP2　である。
・CP1＝4k、　CP2＝CP1＋Ｔの直径＝6k　　　　（直線CDと円Ｔとの連立方程式を解いて
　　2個の交点P1、P2の座標を求め、それらとCとの距離を求めた。4kと6kになった）
・すると　4k≦ｔ≦6k　がｔの範囲。
・★★を観察すると、（画面は見づらいので式を紙に書くのがオススメ）
　ｋが定数で、ただ１個の変数ｔは分母にあるから、　（分数部分の項は正の値）
　　ｔの最大のときに数式の値が最小となる。　ｔ＝6k　　
　　ｔの最小のときに数式の値が最大となる。　ｔ＝4k　　（数式の値＝求める内積）

・求める内積の最大値は★★式にｔ＝4k を代入して、内積＝k^2（1/8－1）＝－7k^2/8
・求める内積の最小値は★★式にｔ＝6k を代入して、内積＝k^2（1/18－1）＝－17k^2/18

よって、　答　内積の最大値＝－7k^2/8　、　　最小値＝－17k^2/18

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　　この問題は内積のφを２θとし、かつcosθを直接求めずに、sinθと
　させるところが狡猾です。（cosθや接線EPなどに踏み込むと判別式やら
　座標やらで、とんでもないことになります。作者のワナにはまります）　

　　CP＝ｔ　とおいて計算させるのは、一見複雑そうですが、実は
　(3),(4)を出させるのに大変巧妙な仕掛けとなっています。
　　　（最大最小ですが、微分などしてはいけません）
　とても良くできた作問です。一体どなたの作品でしょうか。
　入試での出題では難度は高いでしょう。

【回答を読んで下さり、有難うございました】