アステロイドの

質問

x=acos^3θ，y=asin^3θ
曲線上の点Ｐと原点との最短距離の求め方を、高校３年（数学Ｃ）レベルで教えて下さい。

回答No.2

zabuzaburo · ベストアンサー

じゃあ私は素朴に計算してみましょう。距離をzとすると
z^2 = x^2 + y^2 = (cosθ)^6 + (sinθ)^6
これを計算すると(*)
= [4 - 3(sin 2θ)^2] / 4
となり、このz^2は
sin2θ = 1、すなわち θ = π/4 などのときに最小値をとり、
このとき z も最小値(1/2)をとります。
参考URLの図を見て考えれば、なぜ最小値が1/2になるのか
図形的に説明することもできます。
ぜひ考えてみてください。

(*)の過程:
(cosθ)^2をa、(sinθ)^2をbと書くと、
z^2 = a^3 + b^3です。
一般に「(a + b)^3 = a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2) + b^3」より、
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - [3(a^2)b + 3a(b^2)]
= (a + b)^3 - 3ab(a + b)
と変形でき、ここではa = (cosθ)^2, b = (sinθ)^2ですから
a + b = 1です。ゆえに
z^2 = 1^3 - 3ab・1 = 1 - 3(cosθsinθ)^2
さらに cosθsinθ = (sin 2θ) / 2 より、
z^2 = 1 - 3・[(sin 2θ) / 2]^2
= [4 - 3(sin 2θ)^2] / 4
が得られます。

参考URL：

http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/image/asteroid.html

お礼

三平方の定理からのアプローチですね。早速なぞってみます。ありがとうございました。

回答No.1

hinebot

点Ｐにおける接線と直線ＯＰ（Ｏは原点）が垂直になることから、
点Ｐの座標を特定します。
あとは、2点間の距離を出すだけです。

【公式１】
x=f(t),y=g(t) で、f(t),g(t)はtについて微分可能で、dx/dt=f'(t)≠0のとき
dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = g'(t)/f'(t)

【公式２】
d(f(g(x))/dx=df/dg*dg/dx

の２つの公式を使えば、dy/dx が計算できますね。
あとは分かりますよね。

アステロイドは、ｘ軸およびｙ軸について対象なので、第1象限（x>0,y>0）だけで考えればOKでしょう。

お礼

早々の回答、ありがとうございます。
早速、計算してみます。
ありがとうございました。