ある化学物質の量x(t)は次の方程式に従って変化する。ただし、x(0)

質問

ある化学物質の量x(t)は次の方程式に従って変化する。ただし、x(0)=1である。
dx(T)/dt=-3x(t)+24{x(t)-5/2}^2…(1)

微分方程式(1)を解いたのが1/{(8X-25)(X-2)}dx=3dt
部分分数分解して
1/9{8/(8X-25)-1/(X-2)}dx=3dt
両辺積分して
In｜(8X-25)/(X-2)｜=27t+C
(8X-25)/(X-2)=De^27t
(ただしC,Dは積分定数)
初期条件t=0のときX=1よりD=17を用いて整理して
x={34e^(27t)-25}/{17e^(27t)-8}

だと思うのですが積分してどうやったらIn｜(8X-25)/(X-2)｜=27t+Cって求められるのですか？

教えてください

回答よろしくお願いします

回答No.3

muturajcp

dx/dt=-3x+24{x-5/2}^2=3(8x^2-41x+50)=3(8x-25)(x-2)
x=2又はx=25/8を仮定すると
(8x-25)(x-2)=0　x=C,x(0)=1だから　x=1≠2,1≠25/8で矛盾だから
(8x-25)(x-2)≠0　となるから
(dx/dt)/{(8x-25)(x-2)}=3
(dx/dt)[{8/(8x-25)}-{1/(x-2)}]=27
∫{8/(8x-25)}dx-∫{1/(x-2)}dx=27∫dt
y=|8x-25|とする
8x-25>0のときy=8x-25,dy=8dx,∫{8/(8x-25)}dx=∫(1/y)dy
8x-25<0のときy=25-8x,dy=-8dx,∫{8/(8x-25)}dx=∫(1/y)dy
∫{8/(8x-25)}dx=∫(1/y)dy=logy+C1=log|8x-25|+C1
y=|x-2|とする
x-2>0のときy=x-2,dy=dx,∫{1/(x-2)}dx=∫(1/y)dy
x-2<0のときy=2-x,dy=-dx,∫{1/(x-2)}dx=∫(1/y)dy
∫{1/(x-2)}dx=∫(1/y)dy=logy+C2=log|x-2|+C2
27∫dt=27t+C3
C=C3-C1+C2とすると
log|8x-25|-log|x-2|=27t+C
log|8x-25|-log|x-2|=log|(8x-25)/(x-2)|　だから
log|(8x-25)/(x-2)|=27t+C
(8x-25)/(x-2)=±(e^C)e^{27t}
D=±e^C とすると
(8x-25)/(x-2)=De^{27t}
初期条件t=0のときx=1よりD=17を用いて整理して
x={34e^(27t)-25}/{17e^(27t)-8}

回答No.2

Knotopolog

＞＞ 1/9{8/(8X－25)－1/(X-2)}dx＝3dt

の不定積分は，積分定数を　C　として，

∫[(1/9){8/(8X－25)－1/(X－2)}]dx＝∫3dt＋C

になります．これを計算すると

(8/9)∫{1/(8X－25)}dx－(1/9)∫{1/(X－2)}dx＝∫3dt＋C

となり，積分　∫{1/(8X－25)}dx　と　∫{1/(X－2)}dx　と　∫3dt　は，それぞれ

∫{1/(8X－25)}dx＝(1/8)ln(8X－25)
∫{1/(X－2)}dx＝ln(X－2)
∫3dt＝3t

となります．ln　は自然対数です．したがって，

(8/9)∫{1/(8X－25)}dx－(1/9)∫{1/(X-2)}dx＝∫3dt＋C
(8/9)(1/8)ln(8X－25)－(1/9)ln(X－2)＝3t＋C
(1/9)ln(8X－25)－(1/9)ln(X－2)＝3t＋C
ln(8X－25)－ln(X－2)＝3・9t＋9C

対数の法則により，ln(8X－25)－ln(X－2)＝ln{(8X－25)/(X－2)}　なので，

ln{(8X－25)/(X－2)}＝27t＋9C

になります．（9C　は，C　と書いても同じ，以下の計算で分かります）．
初期条件　t＝0　のとき　X＝1　なので，

ln{(8－25)/(1－2)}＝9C
ln{(－17)/(－1)}＝9C
ln{17}＝9C

したがって，

ln{(8X－25)/(X－2)}＝27t＋ln{17}　これを変形すると

(8X－25)/(X－2)＝e^[27t＋ln{17}]
(8X－25)/(X－2)＝e^(27t)・e^[ln{17}]
(8X－25)/(X－2)＝e^(27t)・17
(8X－25)/(X－2)＝17e^(27t)

となります．これを　X　について解けば，

X＝{34e^(27t)－25}/{17e^(27t)－8}

が得られることになります．

回答No.1

Tacosan

いきなりそこにいかず, 途中に 1段階はさんでください.