距離に比例した斥力を受ける運動について

質問

物理についての質問です。

質点ｍが原点から距離に比例する斥力（比例定数ｋ）を受けて運動する。これを直交座標（x,y）を用いて軌道の式を決定せよ。

という問題なのですが、ｘ、ｙ方向それぞれで
ｍd^2x/dt^2＝kx
ｍd^2y/dt^2＝ky
という２つの式を立てるまでは良いのですがこの式を解くと
x＝Acosh(ωt-B)
y＝Ccosh(ωt-D)
（A,B,C,Dは積分定数で、ω^2＝k/mです。）
となる過程がわかりません。x＝ｅ^ωx（yも同様に）でも上の微分方程式は満たすと思うのですがいけないのでしょうか？

回答No.3

jamf0421 · ベストアンサー

前の方々のお答えで満足でないとすれば、微分方程式の解の出し方が問題なのですね。数学も物理も素人ですが、一応一つのやり方について述べます。ここに出てくる式はd/dt=Dと書いて、[Dの多項式]=f(x)の式ですね。これの解は、[Dの多項式]=0の一般解に[Dの多項式]=f(x)の特殊解を足し合わせたものとなります。
今の例ならば
(D^2-(k/m))x=0
ですから、これの一般解をもとめればそれで終わりになります。D^2-(k/m)=0の根を独立変数tをかけてexpにいれたものになります。
形式的にD=±(k/m)^0.5になりますので二つの指数関数、exp(k/m)^0.5tとexp-(k/m)^0.5を得ます。これに任意定数をかけてたしたものが一般解です。即ち
x=αexp(k/m)^0.5t + βexp-(k/m)^0.5t
が一般解です。(k/m)^0.5=ωと書くことにすれば
x=αexpωt+βexp-ωt
となります。
質問者さんが挙げておられた解は
x=Acosh(ωt-B)
となっていますがこれは
=(A/2){exp(ωt-B)+exp-(ωt-B)}
={(A/2)exp-B}expωt + {(A/2)expB}exp-ωt
と変形できるので
x=αexpωt+βexp-ωt
と同等です。一方
x=expωt
が与えられた微分方程式を満たすことは明らかです。しかし、”expωtならばこの方程式の解である”、は満たしますが、逆は満たしません。即ち解の一部に過ぎません。たとえば、もしt=0でx=0の初期条件を満たす解を出せ、と言われると（本当はあるのに）答えが出てきません。

お礼

勉強し始めたばかりな者なのでおっしゃる通り微分方程式の解の出し方がわかっていませんでしたが、おかげさまで疑問は解決できました。丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.2

noname#69788

微分方程式を解くとそうなるからです。
＞x＝ｅ^ωx
xが大きくなると無限大に発散してしまいます。

お礼

その解き方がわかっていないようで…勉強不足ですね笑

回答No.1

gyrch

一般解を求めるのでは？

お礼

早速の回答ありがとうございます。まだまだ勉強し始めたばかりなもので一般解自体よくわかっていないようで…もう少し勉強してみます。