微分の問題

質問

∫exp{(-1/2σ^2)(x-μ)^2}dx 　=　 (2πσ^2)^1/2　（左辺は範囲-∞から∞の定積分）
の両辺をσ^2で微分するにはどうすればいいのでしょうか？
式が見にくくて申し訳ありません。要するに左辺がｘについての積分の形になっている場合に、xではないほかの変数σ^2で微分するにはどうすればいいのかがよく分かりません。よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland

微分変数σ^2が積分関数xに独立の場合、xを定数と見なして　そのままσ^2で微分できますよ。

　以下、両辺をそれぞれ微分して一致することを確認してみます。

　x=x-μと変数変換してから、左辺をσ^2=s で微分します。

　(d/ds)∫[x=-∞→∞] exp{-(x-μ)^2/(2s)} dx
=(d/ds)∫[x=-∞→∞] exp{-x^2/(2s)} dx
=∫[x=-∞→∞] x^2/(2s^2) exp{-x^2/(2s)} dx
=1/(2s^2) ∫[x=-∞→∞] x^2 exp{-x^2/(2s)} dx
=1/(2s^2) (1/2)√π (2s)^(3/2)
=√{π/(2s)}
=√(π/2) 1/σ

　右辺もσ^2=sで微分します。

　(d/ds)√(2πs)
=√{π/(2s)}
=√(π/2) 1/σ

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

微分と積分を交換できることもあります.

お礼

微分の操作と積分の操作が交換可能という意味なんですね。知りませんでした。
どうもありがとうございました。