1/y・dy/dtを積分すると、どうしてlogey＋C’’になるのでしょうか？

質問

とある微分方程式の教科書で勉強していると、疑問に思った箇所がありまして(>_<)

dy/dt ＝ ry　・・・(1)

を、積分するという話なのですが、これを積分した結果が、

logey ＝ rt＋C’ ・・・(2)

になるそうなのです。

教科書の説明では、「未知関数yを微分したdy/dt(左辺)は、もとの未知関数yに定数を掛けたものになっている(右辺)」ので、「単に両辺を積分しても、右辺をどう積分していいのかわからない」そうなのです。

そこで、"変数分離法"なるものを利用して、左辺を未知関数yだけに、右辺を定数と変数tだけにするために、両辺をyで割り、その後に積分するという手法を採っていました。
そうすれば、左辺が、

∫1/y・(dy/dt) dt
＝ ∫dy/y
＝ logey＋C’’　・・・(3)

となり、右辺は、

∫r dt
＝ rt＋C’’’ 　・・・(4)

となるので、両辺の積分定数をまとめてC’と置いて、結果として(2)になるそうなのです。

私がわからないのは、左辺の積分、(3)についてです。
分数の積分の公式に、

1/x　→積分→ logex(＝lnx) ＋C
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
http://sqa.scienceportal.jp/qa4962140.html

というものがあるそうなので、1/yを積分した「∫1/y dt」は、「logey＋C’’(定数)」になるのだと思います。
でも、今回の積分は「∫1/y・(dy/dt) dt」であり、「∫1/y・dt」とは違うので、logey＋C’’になるのはおかしいと思うのです。
教科書が間違っている可能性は低いと思います。
どうしても理解できませんので、皆様のアドバイスをいただければ幸いです。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

たぶん高校生の方かなぁ～？、と思って回答します。

　微分方程式を上手く変形して、既知の微分式の形に持ち込み、形式解を作る事は、求積法と言われる事が多いです。教科書にも載っていると思いますが、

　(1)変数分離形
　(2)線形微分方程式
　(3)クレーローの微分方程式
　　・・・などなど

色々なパターンがありますが、基本的なのは(1)と(2)です。(3)以下は、変数変換などを行って、(1)か(2)（多くは(1)）に帰着させる方法です。(1)と(2)が、既知の微分式の形の基本になります。ここで「既知の微分式」とは、四則演算に関する微分公式の事です。四則演算に関する微分公式は4つです。以下、微分演算として、d/dx(y(x))＝dy/dxの形も併用します。

(a) 合成関数の微分公式
　d/dx(Ｆ(y))＝dＦ/dy・dy/dx

(b) 積の微分公式
　d/dx(f・g)＝df/dx・g＋f・dg/dx

(c) 和の微分公式
　d/dx(f＋g)＝df/dx＋dg/dx

(d) 商の微分公式
　は、(b)に帰着できる。

　というわけで、実質的には3つです。(a)合成関数の微分公式の両辺を積分する事により、次の関係が導けます。

　　Ｆ(y)＝∫dＦ/dy・dyなので、
　　∫dＦ/dy・dy＝∫dＦ/dy・dy/dx・dx（積分定数は、∫の結果に含める）．

　このパターンが変数分離形です。dy/dt ＝ ryで例示すれば、1/y・dy/dt＝rと変形して、

　　dＦ/dy＝1/y
　　dy/dx＝dy/dt（x＝t）
　　∫1/y・dx＝log|x|＋Ｃ
　　∫r・dx＝rx（積分定数は、直上のＣに押し付けた）

を順番に、

　　∫dＦ/dy・dy/dx・dx＝∫r・dx

へ代入して行ってるだけです。

　このような事は、普通の教科書には余り書かれていませんが、結局、微分の仕方がわかってる式に関しては、逆も出来るよ！、というだけの話です。

　ところで微分公式は、実質的に後2つありますが、(c)和の公式は、fを未知関数，gを既知関数とみなすと、最も単純な積分公式、

　　f(x)＝∫df/dx・dx、

しか導かないので、微分方程式としては役立たずです。
　一方、(b)積の微分公式は、fを未知関数，gを既知関数とみなすと、次のタイプの微分方程式の一般的な求積法を与えます。

　　df/dx＋p(x)・f＝q(x)

　これが線形微分方程式です。このタイプの求積法を考えるのは、けっこう面白いですが、高校数学では、線形微分方程式の求積公式は、証明しない限り使えない事になっていると思います（つまり御法度）。さらに、変数分離形に帰着できる問題しか、受験にも出ないはずです。
　これに関わると、貴重な受験勉強時間を無駄にする恐れもありますので、興味があれば、また質問して下さい。その時は、添付ファイル付きでお応えします。

お礼

詳しく回答していただきありがとうございます(>_<)
私は通信制の大学に通う社会人です。高校の時に数学から逃げてしまったので、もう1度、数学と向き合おうと努力しているつもりなのですが・・・(^_^;)
が、さっそく、ddtddtddtさんの「(a)合成関数の微分公式の両辺を積分する事により～」という箇所で躓き、思考が停止してしまいました(ToT)
両辺を積分すると、

∫d/dx(Ｆ(y))dx = ∫dＦ/dy・dy/dx・dx

という、得体のしれない数式が出てきてしまったからです。
ただ別の参考書に、

◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆
関数f(x)=2x^3－3x－1について、
(1)d/dx∫f(x)dx
(2)∫{d/dx f(x)}dx
を計算せよ。
↓
(1)
d/dx∫f(x)dx
= d/dx∫(2x^2－3x－1)dx
=d/dx(2x^3/3－3x^2/2－x＋C)
=2x^2－3x－1
(2)
∫{d/dx f(x)}dx
=∫{d/dx (2x^2－3x－1)}dx
=∫(4x－3)dx
=2x^2－3x＋C
◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆

という、似たような微積分の問題がありましたので、ここはなんとか・・・積分して、また微分するからでしょうか、「∫d/dx(Ｆ(y))dx」が「Ｆ(y)」になるのは理解できました。
右辺の「∫dＦ/dy・dy/dx・dx」がどうなるかはまだ理解できていないのですが、dy/dt ＝ ryで例示していただいので、そちらの方に集中してじっくり読み進めていると・・・また躓いてしまいまして(>_<)

ddtddtddtさんの、

・・・
1/y・dy/dt＝rと変形して、
　　dＦ/dy＝1/y
　　dy/dx＝dy/dt（x＝t）
　　∫1/y・dx＝log|x|＋Ｃ
　　∫r・dx＝rx（積分定数は、直上のＣに押し付けた）
・・・

という例示が、理解できないのです。
「1/y・dy/dt＝r」→「dＦ/dy＝1/y」になったのは、積分か何かしたのでしょうか？
rが消えています！

と思いきや、
「∫1/y・dx＝log|x|＋Ｃ」→「∫r・dx＝rx」と、rが元に戻っています。どうしてなのでしょうか？
log|x|がrか何かになるのでしょうか？

すいません、差し支えなければ、お暇な時に、この箇所について再度回答いただけないでしょうか？
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.5

noname#221368

#4です。#5は見えてないと思います。

　見えるようになったらわかりますが、ある理由から無茶をして、表示禁止になりました。

　速効性のある手は、これしか思いつきません。参考URLを揚げます。

参考URL：

http://www.sipnet.co.jp/contactus.htm

回答No.4

noname#221368

#3です。Word 2003のファイルを添付します。

　中で、Microsoft　数式エディター3.0　を使用していますが、これは標準で付いていると思います（数式を表示できると思います）。

　自分も昔は通信制を受けた事がありますが、やっぱり帰宅後に一人数学をやるのは辛くて、あんまり両立しませんでした。やはり、誰かに講義してもらう方が楽です。質問も直接できますし。通信制だと、独学とあんまり変わらないですよね？。

　そこで調べてみると、「科目等履修制度」というのがありました。
　これは半期契約で、講義を一コマいくらで買える制度です。いちおう、入学検定料（約１万円）を半年ごとに払います。学部や学科によっては、検定が実質的に面接で済む場合もあり得ます。国立大学なら、必ずこの制度があり、あなたが東京在住なら、東大の赤門をくぐれる可能性もあるわけです。
　欠点は、夜間などではなく、会社が許してくれなければ無理な事。新入生といっしょに首を並べるので、やたらと「浮きまくる事」です。自分の場合は、転職がきっかけになりました。

回答No.3

noname#221368

じつは自分も社会人で学生です（通信制ではないですが）。

＞よくわからない。
　応え方が悪かったと思います。

　現在勤務時間中なのでえ、少々お待ち下さい。
　今度は、添付ファイルにします（Word 2003）。

お礼

そうなんですか～！
私は1問理解するのもいっぱいいっぱいなので、全然仕事と両立できてない感じです・・・(￣Д￣；；
仕事中にすいません(>_<)

回答No.1

R_Earl

> 分数の積分の公式に、
>
> 1/x　→積分→ logex(＝lnx) ＋C
​> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E...​
​> http://sqa.scienceportal.jp/qa4962140.html​
>
> というものがあるそうなので、1/yを積分した「∫1/y dt」は、「logey＋C’’(定数)」になるのだと思います。

「1/xを積分するとlogex + Cとなる」というのは誤りです。
∫(1/x)dt = logex + Cとはなりませんし(1/xをtで積分した)、
∫(1/x)ds = logex + Cとはなりません(1/xをsで積分した)。

正しくは「1/xをxで積分するとlogex + Cとなる」です。
つまり∫(1/x)dx = logex + Cです。
大事なのは、(1/x)とdxが両方同じ文字を使っているという点です。
文字さえそろっていれば、他の文字でもOKです。
∫(1/t)dt = loget + Cも成り立ちますし、
∫(1/s)ds = loges + Cも成り立ちます。
同様に∫(1/y)dy = logey + Cが成り立ちます。

> でも、今回の積分は「∫1/y・(dy/dt) dt」であり、「∫1/y・dt」とは違うので、logey＋C’’になるのはおかしいと思うのです。

∫(1/y)・(dy/dt) dt
= ∫(1/y)dy
= logey + C''

となります。「(dy/dt) dt = dy」のような変形は
置換積分で良く見られますよね。

お礼

なるほどです、納得できました！
ありがとうございます<m(__)m>