内接円・球と正多角形／正多面体の関係について

質問

数学がお得意な方への質問です。

正多面体に球が内接・外接する時の半径の求め方はやはり正四面体の公式に倣って高さ×4分の1(内接)、高さ×4分の3(外接)で良いのでしょうか。それとも他に正しい公式等あるのでしょうか。

加えて、正多角形に内接・外接する円の半径を求める公式も教えて頂ければ幸いです。

ご回答の程よろしくお願いします。

回答No.2

zarbon · ベストアンサー

正多面体の内接球・外接球の半径を求める公式は見たことがありません。
調べてみると次の様な関係式を見つけましたが、特筆する様な式ではありません。

各面が正n角形,1つの頂点に集まる面の数がm,1辺の長さがa,稜角(2面角)がiのとき、

内接球の半径r = (a/2)cot(π/n)tan(i/2)
外接球の半径R = (a/2)tan(π/m)tan(i/2)
(幾何学大辞典2より)

正n角形と内接円・外接円の半径に関する公式に関しては、1辺の長さをaとすると、
次の様になります。

a = 2Rsin(π/n) = 2rtan(π/n)
(幾何学大辞典1より)

お礼

ご回答ありがとうございます。

残念ながら当方微分・積分の心得がないのですが、
ヒントとさせていただきます・・・

回答No.1

Tacosan

単純に考えて, 立方体で OK ですか?

補足

ええと、確かどの多面体にも共通する公式があった気がするのですが・・・

体積が絡んでいたと思います・・・