三次元の方位の「等間隔」な選び方

質問

三次元空間において、原点を中心とする半径1の球の表面を、任意の整数n個の点で「いい感じ」にサンプリングする方法があれば教えてください。
言い換えるなら、原点から見た三次元空間の方位を単位ベクトルで表すとした場合、n種類だけ選ぶときに「いい感じ」になる単位ベクトルの組の選び方で、簡単で良い方法があれば教えてください。

この「いい感じ」というのがあやふやな言葉で申し訳ないのですが、おおよそ以下のようなイメージです。

二次元空間において、原点を中心とする半径1の円周上の点は、極座標系で(1, θ)と表す事が出来ます。これをn個の点P1, P2, ..., Pnでサンプリングするとき、各点の座標をP1(1, 2π/n), P2(1, 2*(2π)/n), ..., Pn(1, 2π)と選べば、方角に偏りが無くなり「いい感じ」だと思います。
これらは半径1の円に内接する正n角形の頂点になります。

三次元空間でも二次元空間のときの類推から、半径1の球に内接する正多面体の頂点を選べば原点から見た三次元空間の方位を「いい感じ」にサンプリングできていると思います。
ただし、正多面体は以下の5種類しか存在しません。括弧の中は頂点の数です。
正四面体(4)
正八面体(6)
正六面体(8)
正二十面体(12)
正十二面体(20)
そこで例えばn=5,10,14といったような、サンプリング点を頂点とした正多面体が作れないような場合を含めて、各方位の重みが異なる事のない様に方位の組を選びぶための一般的で簡単な表式があれば教えていただきたいという事です。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

円周と違って完全にいい感じに配置できるのは点の数が正多面体の場合のみでしょうが、n点をできるだけ同じくらいの間隔になるように球面上に配置するという問題は考えられます。(ただし自明な等分の出来る円周の場合と違って、単純な一般式はないと思います)
ご質問の答えに関連した記事のurlを貼っておくので、よければ参照してみてください。
「球面上の最適配置の問題」
http://www.ism.ac.jp/editsec/toukei/pdf/46-2-359.pdf

お礼

ありがとうございます。
まさに求めていた情報でした。