対数の問題です

質問

対数の問題です
f(x)=4^x +4^－x +a(2^x + 2^－x)+6－aのとき、tを2^x + 2^－xとおくときf(x)をtの式であらわすとt^2 +at－a+4
このときtの範囲を表すとt≧2

という条件のとき
f(x)=0が異なる四つの実数解をもつためのaの値の範囲を求めよ
という問題で解答がt^2 +at－a+4が2より大きい2つの異なる解をもつときに四つの実数解をもつと書いてあるのですがなぜそうなるかが理解できません
ご教授ください

回答No.2

noname#180442

文面に判らないところがあります。以下をヒントにしてください。

(1) t の２次方程式が異なる実数根を持つためには、判別式から a > 2

(2) t の２次方程式の実根のひとつをαとして、X=2^x と置くと、X + 1/X = αとなります。これは X の２次方程式になります。f(x)が４つの実数根をもつには、X も異なる実数根を２つ持たなくてはなりません。X の判別式から、α> ±2。ここから、(1)も考慮しながらa の範囲を求めます。同様にして、もう一つの実根からも a 範囲が出てきます。

回答No.1

yyssaa

＞4^x+4^(-x)=(2^2)^x+(2^2)^(-x)=(2^x)^2+{2^(-x)}^2であり、
t^2={2^x+2^(-x)}^2=(2^x)^2+{2^(-x)}^2+2*2^x*2^(-x)
=(2^x)^2+{2^(-x)}^2+2だから
4^x+4^(-x)=t^2-2、よって
f(x(t))=t^2-2+at+6-a=t^2+at+4-a
t=2^x+2^(-x)で2^x=yとおくとt=y+1/y、y^2-ty+1=0
y={t±√(t^2-4)}/2、t＞2であればyは異なる2解をもち、
x=log_2(y)だからxも異なる2解をもつ。
従って、f(x(t))=t^2-2+at+6-a=t^2+at+4-a=0で
tがt＞2の異なる2個の実数解t1、t2を持てば、yは
y1={t1+√(t1^2-4)}/2、y2={t1-√(t1^2-4)}/2
y3={t2+√(t2^2-4)}/2、y4={t2-√(t2^2-4)}/2
の4個の異なる実数解をもち、xは
x1=log_2(y1)、x2=log_2(y2)、x3=log_2(y3)、x4=log_2(y4)
の4個の異なる実数解をもつことになる。