この問題がわかりません。答えも無く困っています

質問

閲覧ありがとうございます。
数学の問題にあたっていると、どうしてもわからないものがでてきました。

ａを定数とする。ｆ(x)=| x+1 | - |x-1| 　←｜　｜は絶対値です。

(1) 方程式 x^2+a=f(x) の異なる実数解の個数をaの値で場合分けせよ。

(2) x+a≧0 ,x^2+a≦f(x) をともに満たすxの値が存在するaの範囲をもとめよ。

という問題です。

数学が初学者ゆえに手がでません。
良ければ、解答と途中式も教えていただけたら幸いです。

回答No.11

info22 · ベストアンサー

#2,#3,#8です。
図を工夫して描きなおして見ました。こちらの方が図的に分かりやすいかと思います。
図から2つの不等式を満たす黄色の領域(C)（境界線を含む)を
(1)y=aの直線が通過するような　aの範囲から「-2≦a≦1」が求められます。

（図の説明）
x+a≧0…(A)を
a≧-x
と書き直し
y=a…(1)　と y=-x　…(2)
の２つの直線に分けて考えると（A)を満たす領域は
(1)が(2)の上になるxの領域
となります。
また
f(x)≧x^2+a　…(B)を
f(x)-x^2≧a
と書き直し
y=a…(1) と　y=f(x)-x^2…(3)
の直線(1)と曲線(3)に分けて考えると (B)を満たす領域は
(1)が(3)の下になるxの領域
となります。f(x)は絶対値の折れ線の式です。
(A),(B)を共に満たす領域は(3)と(2)で囲まれた領域（C)（黄色の領域）でaとの関係は
(1)のy=aの直線が領域(C)を通過する範囲（赤太線部分）になります。
(1)が領域（C)を通過するとき2つの不等式(A),(B)を満たすxが存在し、
xが存在するための直線(1)のaの範囲は領域(C)を通過する範囲なので
-2≦a≦1となります。

回答No.10

arrysthmia

さて、完成したグラフを見て、
図示による考察が、不等式の処理より
簡潔であるかどうか。

回答No.9

info22

#3,#4,#8です。
A#8の補足質問の回答
>ｆ(x)=| x+1 | - |x-1| は議論しなくてもよいのでしょうか？
失礼しました。
A#8の(2)の方は
y=f(x)=x^2+a(≦0)と勘違いして解いた解ですので無視して下さい。
以下
y=ｆ(x)=|x+1|-|x-1|≧x^2+a
y=x+a≧0 (こちらは同じ)
のxの取り得る範囲を改めて添付図に描いて見ました。
a≧1のとき x領域なし
0≦a<1のと1-√(1-a)<=x<=√(2-a)
-2≦a<0のとき　-a<=x<=√(2-a)
となるのでxの存在条件は　-2≦a≦1　となりますね。

グラフの説明
aの値によりxの存在領域に入るy=x^2*aの部分を赤色のグラフで書いてあります。青色のグラフは
y=x+a≧0…(A)
のグラフで aの値を変えてグラフ上にaの値や範囲を書いてあります。
赤色のグラフは y=x^2+a≦f(x)を満たしかつ(A)も満たすy=x^2+a
の部分グラフです。赤線部分のxの範囲が、各aの範囲に対応した2つの不等式の解になります。赤線の部分グラフのないaの範囲は2つの不等式を満たすxが存在しないことを意味しています。

回答No.8

info22

#3,#4です。
A#4の補足の質問について
>(2)についてなのですが、y=x+a y=x~2+aが接するときのａの値を求めて
>そこから範囲を出せばいいと考えたのですが、うまくそのａが出せません。

y=x+a(≧0)とy=x^2+a(≦0)のグラフを描けばすぐ解が導けるかと思います。添付図をつけました。グラフから両不等式を満たすx共通領域が存在するaの範囲は　-1≦a≦0　であるとわかるでしょう。

添付図の説明
y=x+a(≧0)とx軸の交点は(-a,0)
y=x^2+a(≦0)とx軸とのx≧0側の交点はa≦0の範囲で存在し、(√(-a),0)
aの値によって、２つのグラフの位置関係と
y=x+a≧0　と　y=x^2+a≦0
を満たすxの範囲は,-1≦a≦0のaの範囲で存在し、添付図の紫色の斜線で示したxの範囲
-a≦x≦√(-a)
となります。
a>0やa<-1では x+a≧0では　y=x^2+a>0　となって両不等式を満たす実数解（２つのグラフの交点）が存在しません。

お礼

何度も解答していただき本当にありがたく思っています。

今、アドバイスをもとに考えたのですが、ｆ(x)=| x+1 | - |x-1| は議論しなくてもよいのでしょうか？
何度も本当にすいません。

回答No.7

arrysthmia

(1)ができたのであれば、
x~2+a=f(x) の解が何処に何個あるか
a づ場合分けして把握できているハズです。
一番大きい解 x が x＞-a の範囲にある条件
を書き出して、a の不等式として解くだけです。

回答No.6

mister_moonlight

＞数学が初学者ゆえに手がでません

どの程度の初学者なのか分からないが、座標を習ってるなら簡単に行く。
設問(2)は設問(1)と同様にやればよい、と言ったって、言うだけなら簡単。設問(2)の方が余程に面倒。　ｗ

私なら、以下のように解く。

a＝y　とすると、x+a≧0　から y≧-x　‥‥(1)
x^2+a≦f(x)　から、y≦-x^2＋| x+1 | - |x-1|　‥‥(2)
(2)は、次の3つに場合わけされる。
x≧1の時、y≦2-x^2。｜x｜≦1の時、y≦2x-x^2。x≦-1の時、y≦-x^2-2.　‥‥(3)
以上、(1)と(3)をxy平面上に図示すると、(1)と(3)を同時に満たすxの値が存在するのは、-2≦y≦1であるから、-2≦a≦1。

計算には自信なし、チェックしてね。

回答No.5

arrysthmia

絶対値があるから分かりにくいのでしょう？
絶対値の意味(定義)
|y| = y　(y≧0 のとき)
|y| = -y　(y<0 のとき)
に従って、場合分けしてしまいましょう。
f(x) = 2　(x≧1 のとき)
f(x) = 2x　(-1≦x<1 のとき)
f(x) = -2　(x<-1 のとき)
です。

すると、小問(1)は、
(x^2 + a = 2　ただし x≧1) と
(x^2 + a = 2x　ただし -1≦x<1) と
(x^2 + a = -2　ただし x<-1) との
実数解の個数の合計を a の値で場合分けする
問題であることが分かります。
x≧1, -1≦x<1, x<-1　各範囲の解の個数を
a で場合分けして、後で集計すればよい。

各範囲ごとの考察を、補足へどうぞ。

小問(2)も、話の進め方は同様です。

お礼

(1)はできましたが、(2)ができません。
(2)についてなのですが、y=x+a y=x~2+aが接するときのａの値を求めてそこから範囲を出せばいいと考えたのですが、うまくそのａが出せません。方針からしてまちがっていますか？あとどうやったらａがでますか？

回答No.4

info22

#3です。
A#3の補足について
>aを分離して考えたのですが、絶対値の式の使い道がわかりません。
分離する必要性は特にありません。
分離して考えることもできますがこれは他の回答者に任せます。
分離しないでグラフ的に求めた方が簡単です。
A#3に添付したグラフ2つのグラフの交点がaの値によってどう変わるかを分類するだけで解になります。
a>1で交点なしで解の個数はゼロ
a=1で2つのグラフが接するので解の個数は１（重解は同じ解なので１つとカウント）
a<1で2つのグラフは２つの交点を持つので解の個数は２
というのが(1)の答え。
絶対値の方のグラフが図（黒の折れ線）のようになることは、理解しましたか？

A#3に書きましたが補足に自力解答を書くように依頼しましたが何も書いてませんね。解決したのでしょうか？
解決していない場合、
(2)についてのヒントをもとに考えて、やった結果を補足にの詳細を書いて、その上で分からないことがあれば質問して下さい。

お礼

(1)についてはグラフを利用して、
a>1で０個
a=1で１個
a<1で２個
という解がでました。
非常にグラフを使うとわかりやすかったです。ありがとうございます。

(2)についてなのですが、y=x+a y=x~2+aが接するときのａの値を求めてそこから範囲を出せばいいと考えたのですが、うまくそのａが出せません。方針からしてまちがっていますか？あとどうやったらａがでますか？

回答No.3

info22

丸投げ質問なのでヒントだけにします。
ｆ(x)=| x+1 | - |x-1|（黒色グラフ、折れ線）
のグラフと
f(x)= x^2+a(青色グラフ、放物線)
のグラフでaの値にってグラフの交点が同変わっていくかが
分かるグラフを添付します。
(1)交点の数が実数解の個数です。

(2) aがy=x+aのy切片であり、かつ　y=f(x)=x^+aの頂点であることを
頭において、考えて下さい。

分からない場合は、自力解答の詳細を補足に書いた上で、どこで行き詰まり、何がどのように分からないかをきくようにして下さい。

お礼

aを分離して考えたのですが、絶対値の式の使い道がわかりません。

回答No.2

manaka3161

＃１です。間違いがありました。
これは実際に微分して増減表を書き、グラフから考える問題です。ちょっと文字だけで答案を作るのは難しいので、解答の指針を。
(1)
x^2＋a＝f(x)…① これを
a＝f(x)－x^2…② としてみましょう。
①の実数解の個数は②の実数解の個数と一致することは分かりますよね。ただx^2を移項しただけです。
後は、実は"お決まりパターン"で解けちゃうんですが、１度でもこのパターンに触れたことがないと、ちょっとこれから書くことの意味が分からないかもしれません。
ここで、
y＝a と
y＝f(x)－x^2
の２つのグラフの交点の数は、②の数の個数に一致する（この部分がやった事ないとちょっと難しいかも）。
つまり、①の解の個数は、上の２つのグラフの交点の個数に一致するという事です。
あとは、実際にy＝f(x)－x^2のグラフを描いて、それとy＝aというグラフの交点の個数をaの値で場合分けして調べるだけです。
(2)についても、基本的には同様の考え方で良いです。
aだけが左辺に残るように移項して、今度は領域で考えてみて下さい。

…もしチンプンカンプンなら申し訳ないです。このタイプは１度理解すれば、あとはパターンですから、先生の解説を聞いた後にでもまたチラッと見てみて下さい。多分分かると思います。頑張って下さい。

お礼

ありがとうございます。
アドバイスを元にもう一度がんばります。

回答No.1

manaka3161

これは実際に微分して増減表を書き、グラフから考える問題です。ちょっと文字だけで答案を作るのは難しいので、解答の指針を。
(1)
x^2＋a＝f(x)…① これを
a＝f(x)＋x^2…② としてみましょう。
①の実数解の個数は②の実数解の個数と一致することは分かりますよね。ただx^2を移項しただけです。
後は、実は"お決まりパターン"で解けちゃうんですが、１度でもこのパターンに触れたことがないと、ちょっとこれから書くことの意味が分からないかもしれません。
ここで、
y＝a と
y＝f(x)＋x^2
の２つのグラフの交点の数は、②の数の個数に一致する（この部分がやった事ないとちょっと難しいかも）。
つまり、①の解の個数は、上の２つのグラフの交点の個数に一致するという事です。
あとは、実際にy＝f(x)＋x^2のグラフを描いて、それとy＝aというグラフの交点の個数をaの値で場合分けして調べるだけです。
(2)についても、基本的には同様の考え方で良いです。
aだけが左辺に残るように移項して、今度は領域で考えてみて下さい。

…もしチンプンカンプンなら申し訳ないです。このタイプは１度理解すれば、あとはパターンですから、先生の解説を聞いた後にでもまたチラッと見てみて下さい。多分分かると思います。頑張って下さい。

お礼

ｆ(x)=| x+1 | - |x-1| 　は議論しなくていいのですか？