電磁気 磁束密度

質問

一辺の長さa[m]の正六角形の全部の辺に電流Iが流れているとき、
中心から高さｂ[m]の点の磁束密度はどうなりますか？
平面で考えたとき、中心の磁束密度は分かりますが高さがあるとどうすればよいのか教えてください。

回答No.1

pc_knight · ベストアンサー

この問題を解くのに三つのステップで考えます。
第１ステップ：正六角形の全部の辺のうち一辺による磁界を求める
第２ステップ：第一ステップで求めた磁界を使って、各六辺の磁界をベクトル的に合成する
第３ステップ：ベクトル的に合成された磁界から磁束密度を求める

各点と線で挟まれた角度を次のように定義する。（添付図参照）
（１） 六角形の一辺の両端の点→Ａ点、Ｂ点
（２） ＡＢの中点→Ｃ点
（３） 六角形の中心点→Ｍ点
（４） 六角形の中心から高さｂ[m]の点→Ｄ点
（５） 角ＤＡＢ→θ１
（６） 角ＤＣＭ→θ２

＜第１ステップ＞
各点間の長さや角度は、次のようになる。
・ＡＢの長さ　：　ａ（ｍ）
・ＡＣの長さ　：　ａ／２（ｍ）
・ＡＭの長さ＝ＡＢの長さ＝ａ（ｍ）
・ＭＤの長さ　：　ｂ（ｍ）
・ＣＭの長さ　：　（√３／２）×ａ（ｍ）
・ＡＤの長さ　：　√{（ＡＭ）の２乗＋（ＭＤ）の２乗}＝√{ａ＾２＋ｂ＾２}
・ＣＤの長さ　：　√{（ＣＭ）の２乗＋（ＭＤ）の２乗}＝√{３ａ＾２／４＋ｂ＾２}
・ｃｏｓθ1=ＡＣ／ＡＤ＝ａ／２・√{ａ＾２＋ｂ＾２}
・ｃｏｓθ2=ＣＭ／ＣＤ＝（√３ａ／２）／√{３ａ＾２／４＋ｂ＾２}・・・(1)式
これらから、一つの辺に流れる電流より生ずるＤ点の磁界Ｈは
Ｈ＝Ｉ・ｃｏｓθ１／（２Π・ＣＤ）
=Ｉ・（ａ／２・√{ａ＾２＋ｂ＾２}）／（２Π・√{３ａ＾２／４＋ｂ＾２}ＣＤ）・・・(2)式
式中の“Π”は円周率を示す。

＜第２ステップ＞
Ｈの水平方向成分Ｈｈ＝Ｈ・ｓｉｎθ２
Ｈの鉛直方向成分Ｈｖ＝Ｈ・ｃｏｓθ２
水平方向成分のベクトル合成はゼロ、
鉛直方向成分のベクトル合成はΣＨｖ＝６・Ｈｖ＝６×Ｈ・ｃｏｓθ２
＜第３ステップ＞
磁束密度Ｂ＝透磁率μ×磁界ΣＨｖ＝６μ・Ｈ・ｃｏｓθ２
に(1)式と(2)式の式を代入してください。

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回答No.2

SKJAXN

見辛くて申し訳ありませんが、テキスト入力のため物理量Yのベクトル表記を#Y、スカラー積を*、ベクトル外積を×、定積分を{a→b}∫Y*dxとさせていただきます。

No.1さんに定義していただいた名称に従って私なりに説明させていただきますと、まず正六角形の一辺に着目します。
点Cを原点にとり、C→Bを正方向としますと、点Cからs（－a/2≦s≦a/2）の位置（動点Pとします）にある微小要素dsが点Dに作る磁界dHは、ビオサバールの法則より、
#dH＝I*(#ds×#r)/(4*π*r^3) →(1)

ここで#dsは、向きはC→B、大きさはdsであり、#rは、向きはP→D、大きさは r^2＝s^2＋(√3/2*a)^2＋b^2 です。
また#dHは、向きは#ds×#r、すなわち#dsから#rに対して右ねじを回したときの親指の向き（D→H）、大きさは式(1)より、
dH＝I*ds*r*sin[π/2＋θ3]/(4*π*r^3) →(2) （π/2＋θ3は、#dsと#rの成す角）

ここで sin[π/2＋θ3]＝cos[θ3] であり、cos[θ3]＝CD/r であり、CD＝R（R^2＝(√3/2*a)^2＋b^2）とおくと式(2)は、
dH＝I*ds*R/(4*π*r^3)＝I*R/(4*π*(√(s^2＋R^2))^3)*ds →(3)

式(3)でsを－a/2からa/2まで積分すると、着目した一辺が作る合成磁界が求められます。すなわち、
H＝I*R/(4*π)*{－a/2→a/2}∫ds/(√(s^2＋R^2))^3) →(4)

ここで s＝R*tan{x} と置換すると、ds/dx＝R/cos[x]^2、積分区間は －φ→φ（ただし sin[φ]＝CB/DB＝(a/2)/√((a/2)^2＋R^2)）となり、式(4)を解くと、
H＝I/(4*π*R)*{－φ→φ}∫cos[x]*dx＝I/(2*π*R)*sin[φ]＝I*a/(4*π*R*√((a/2)^2＋R^2)) →(5)（No.1さんと一致しました）

正六角形の対称性から、Hの水平成分は打ち消しあい鉛直成分だけが残りますので、H*cos[θ2]＝√3*I*a^2/(8*π*R^2*√((a/2)^2＋R^2))
あとは6辺あるため、これを6倍して透磁率を積算すれば磁束密度が求められます。Rは戻しておいて下さい。
ちなみに b＝0 とすると、貴殿が計算された平面で考えたときの中心の磁束密度と一致するか、ご確認願います。