磁束密度について

質問

磁束密度について

半径aの円電流Iが、円の中心を通り円に垂直な軸上に作る磁束密度を求める問題です。

円はxy面内にあり、中心を原点とする。z軸上の点Pにおける磁束密度を計算する。点Qにある円周の一部分Δsの作る磁束密度ΔBは、図のようになる。点Qが円周上を一周すると、ΔBはz軸を軸とする円錐面上を一周する。したがって、そのxy成分は合成すれば0になる。一方、z成分はQの位置によらない。
ΔBz=(μ0/4π)((Δs×ベクトルQP)z/r^3)=(μ0/4π)((Δs×ベクトルQP)z/r^3)
である。最後の書きかえでは、ベクトルQP=ベクトルQO+ベクトルOPでベクトルOPはΔs×ベクトルQPのz成分には関係しないことを使った。(Δs×ベクトルQO)z=aΔs,Δsの一周積分値は円周2πaであるから
Bz=μ0I2πa^2/4π(a^2+z^2)^(3/2)=μ0Ia^2/2(a^2+z^2)^(3/2)
となる。

この答えで、ベクトルOPはΔs×ベクトルQPのz成分には関係しない、とありますがなんででしょうか？
ベクトルQP=rであるのになぜベクトルOPがいらないんでしょうか？

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回答No.1

felicior · ベストアンサー

>> この答えで、ベクトルOPはΔs×ベクトルQPのz成分には関係しない、
>> とありますがなんででしょうか？

以下でQPなどはベクトルを表します。

ベクトルの外積は分配法則が成り立ちます。
Δs×QP
＝Δs×(QO＋OP)
＝Δs×QO＋Δs×OP
ここで、ベクトルΔsはxy平面内方向、ベクトルOPはz軸方向ですので、
(Δs×OP)はxy平面内でΔsに垂直な方向、つまりQO方向を向き、z成分はゼロです。
一方、(Δs×QO)は純粋にz軸方向です。よって、
(Δs×QP)z＝｜Δs×QO｜＝｜Δs｜・a
積分すると、
?(ds×QO)z＝a?｜ds｜＝2πa^2

>> ベクトルQP=rであるのになぜベクトルOPがいらないんでしょうか？

QP＝rではなく、｜QP｜＝rです。ベクトルのままで３乗はできません。r^3は長さの３乗です。

補足

なんで、Δs×OPはゼロなんでしょうか？
根本的なところから分らないので詳しい説明をお願いします。