順序を保つ写像

質問

数学初心者です。
２つの半順序集合(X,<),(Y,<<)の間の写像f:X→Yが順序同型写像とは、(a<b⇒f(a)<<f(b))だと学びました。しかし、fの逆写像f^(-1)が順序を保つ、というのは必要でしょうか？定式化して、
「半順序集合(X,<),(Y,<<)の間の写像f:X→Yについて、fが全単射でfが順序を保つ写像であるがf^(-1)は順序を保たない。」
このような例を教えてください。集合の表現は変えてくださって結構です。

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

X=Y={(a,b);a,bは実数}とし、実数上の普通の順序≦を使って、
(a,b),(c,d)∈Xに対して(a,b)<(c,d)を「d-b≦c-aかつb≦d」で定義し、
(a,b),(c,d)∈Yに対して(a,b)<<(c,d)を「a≦cかつb≦d」で定義します。
fをXからYへの恒等写像とします。

(X,<)と(Y,<<)がそれぞれ半順序集合になっていることを確認してみて
ください。

任意の(a,b),(c,d)∈Xに対して
(a,b)<(c,d)ならばa≦c+(b-d)≦cより(a,b)<<(c,d)です。
すなわちfは順序を保ちます。

しかし、たとえば(0,0)<<(0,1)ですが1-0≦0-0は成り立たないので
(0,0)<(0,1)ではありません。
すなわちf^(-1)は順序を保ちません。

以下おまけ。
P={(a,b)∈X;(0;0)<(a,b)}
Q={(a,b)∈Y;(0,0)<<(a,b)}
とおくと、(a,b)<(c,d)⇔(c-a,d-b)∈P, (a,b)<<(c,d)⇔(c-a,d-b)∈Q
であり、P⊂QかつP≠Qとなっています。
こういうPやQを使っていくらでも別の例が作れます。
実数の組を整数の組に変えても、組の数を増やしても同様です。

回答No.1

alice_44

例:
X : 整数の集合で、偶数元どうしの間にだけ、
普通の整数と同じ順序が定義されている。
Y : 整数の集合で、順序も普通の整数と同じ。
f : X から Y への恒等写像。

Y 上の 1, 2 の f による逆像は
X 上の 1, 2 ですが、
1＜＜2 であるにも関わらず、
1＜2 ではありません。
X では、奇数 1 は大小比較できないからです。