離散数学の半順序集合に関する問題

質問

離散数学の半順序集合に関する問題

離散数学の問題が解けずに困っています。
以下の問題を詳しく解説を交えて解いていただけるとありがたいです。

Aを集合とするとき、半順序集合（P(A),⊆）について、次の（1）（2）に答えよ。
（1）X,Y∈P(A)の上限、下限をそれぞれsup{X,Y}、inf{X,Y}とする。
このとき、sup{X,Y}＝X∪Y
　　　　　inf{X,Y}＝X∩Y　をそれぞれ証明せよ。

（2）半順序集合（P(A),⊆）は束であるかどうか述べよ。

以上です。よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)
X⊆X∪Y,Y⊆X∪Y→X∪YはXとYの上界
X⊆Z,Y⊆Z→X∪Y⊆Z
→X∪YはXとYの最小上界(上限)
sup{X,Y}＝X∪Y

X∩Y⊆X,X∩Y⊆Y→,X∩YはXとYの下界
Z⊆X,Z⊆Y→Z⊆X∩Y
→X∩YはXとYの最大下界(下限)
inf{X,Y}＝X∩Y

(2)
{X,Y,Z}⊂P(A)　に対して
X∪X=X
X∩X=X
X∪Y=Y∪X
X∩Y=Y∩X
(X∪Y)∪Z=X∪(Y∪Z)
(X∩Y)∩Z=X∩(Y∩Z)
X∪(X∩Y)=X
X∩(X∪Y)=X
だから
（P(A),⊆）は束である

お礼

何からどう手をつけるべきか分かりかねていたので大変参考になりました。
どうもありがとうございました。