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逆写像の条件について
集合Uから集合Vへの写像fが全単射なら 逆写像f^{-1}が存在し、f^{-1}は全域写像になりますが、 f^{-1}の逆対応はfなので、f^{-1}は全単射で、 fは全域写像になるのでしょうか？ また、集合Uから集合Vへの部分写像fが逆写像をとる条件を単射とした場合は 合成写像f◦f^{-1}がUの恒等写像にならないですよね？
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自分も後半は良くわかりませんでしたが、基本に戻りましょう。 ［定義-1］ 集合Ｘ，Ｙがあり、各x∈Ａ⊂Ｘ（Ａ≠ＸでもOK）に対して、一つとは限らないy∈Ｙが対応するとき、これを単にＸとＹの間の対応（相関）と言う。ここで対応をfと書けば、各x∈Ａ⊂Ｘに対応するy＝f(x)∈Ｙ（yはxについて一つとは限らない）を全部集めても、Ｙになるとは限らない。これのグラフは、一般には帯になります。 またＸを対応fの始域，Ａ⊂Ｘをfの定義域，Ｙを終域という用語もあります。 ［定義-2］ 集合Ｘ，Ｙがあり、対応fの定義域Ａ⊂Ｘが終域Ｘに等しく（Ａ＝Ｘ）、定義域Ｘの各x∈Ｘでy＝f(x)∈Ｙが、そのxについて一つだけの時（yはxについて唯一）、これを写像（関数）と言い、f：Ｘ→Ｙと表す。 この場合も、y＝f(x)∈Ｙをxについて全部集めてもＹになるとは限りませんが、これのグラフは曲線になります。そしてこの時、終域Ｙの事を、慣習上は値域と言います。 という訳で、逆対応が写像になる条件は、明らかに対応fが全単射の場合です。対応fが全単射なら、それは明らかに［定義-2］を満たし、それは写像です。またfが全単射なら、ＸとＹをひっくり返せるので、逆写像f^(-1)も存在し、全単射です。 後半に対しては予想ですが、こういう定義と定理があります。写像f：Ｘ→Ｙがあったとして、Ｘ上（Ｙ上）の恒等写像をIdX（IdY）で表します。〇は合成写像を意味します。 [定義-3] s：Ｙ→Ｘとして、s〇f＝IdXとなるとき、sをfの左逆写像（引込またはPullback）と言う。 [定義-4] r：Ｙ→Ｘとして、f〇r＝IdYとなるとき、rをfの右逆写像（押出またはPushout）と言う。 ［定理-1］ fが左逆写像sを持てば、fは単射。 ［定理-2］ fが右逆写像rを持てば、fは全射。 ［定理-1，2］の証明は、図を描いて［定義-3，4］に従えば、じつは自明（一瞬）です。 こんなところで、どうでしょうか？^^
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＞y＝f(x)∈Ｙをxについて全部集めたものを集合BとするとB⊂Ｙとなり、この場合Bを値域、Yを終域とよんで区別するのが一般的だと思います。 用語の問題に過ぎないとは思いますが、自分の知ってる用語は多少古いのかも知れません。自分はＢの事を、fの像と呼びます。写像においてもＹを終域と呼んでよいのは知っていますが（対応の特殊ケースなので）、自分はＹを値域と呼びます。 ＞そして、B=Yならば全射であることと同じです。 そうだと思います。
お礼
回答ありがとうございます。
- Tacosan
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前半はたぶん「全域写像」の定義を書いてためつすがめつ見ればわかるんじゃなかろうか. 後半は何をいいたいのかよくわからん.
お礼
回答有り難うございます。 ［定義-2］の >この場合も、y＝f(x)∈Ｙをxについて全部集めてもＹになるとは限りませんが、これのグラフは曲線になります。そしてこの時、終域Ｙの事を、慣習上は値域と言います。 がよくわかりません。 y＝f(x)∈Ｙをxについて全部集めたものを集合BとするとB⊂Ｙとなり、この場合Bを値域、Yを終域とよんで区別するのが一般的だと思います。そして、B=Yならば全射であることと同じです。