ベストアンサー 線形写像について質問です． 2010/06/14 01:00 線形写像について質問です． f：V→Wを線形写像とします．このとき， fが同型写像 ⇔ fが全単射 はどうやって示せば良いですか？ よろしくお願いします． みんなの回答 （2） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2010/06/14 01:56 回答No.1 とりあえず「f が同型写像」ということから何が言えるかを列挙するといいかな. 質問者 補足 2010/06/14 02:02 「fが同型写像」であることから， g・f＝idv かつ f・g＝idw （・は合成写像，idv,idwは恒等写像） となるgが存在することが言えますよね？ これを用いるのでしょうか？ 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する（1） その他の回答 (1) alice_44 ベストアンサー率44% (2109/4759) 2010/06/14 08:34 回答No.2 ？ 「同型」の定義は、全単射準同型じゃないのかな？ 線型写像の場合、準同型性は線型性そのもの だから、同型の条件としては全単射だけが残る。 それとも、他に定義が… 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 線形写像 線形写像 f:V→Wは λ1,λ2,....,λn∈K , x1,x2,....,xn∈Vに対し f(Σλx)＝Σλf(x) が成り立つ事の証明はどのようにすれば良いでしょうか。 よろしくお願いします 線形写像の問題を教えて欲しいです。 n次元Rベクトル空間Ｖおよび線形写像φ：Ｖ→Ｖについて φの行列表現Ａについて、detA≠０ならばφは線形同型写像であることを示せ 全射は分かったんですが、単射の示し方が分かりません。 詳しく教えて欲しいです。 線形代数の問題で困っています。 U={F:V→W|Fは線形写像} とおき、 Vを3次元線形空間とし、｛v1,v2,v3｝を基底とする。 Wを2次元線形空間とし、｛w1,w2｝を基底とする。 このとき (1)Uは線形空間であることを示せ。 (2)Uの基底を一組求めよ。 (3)｛v1,v2,v3｝、｛w1,w2｝を用いて同型写像を作ることにより、UとM（2,3）は同型になることを示せ。 線形写像の証明問題です。 線形写像の証明問題です。 f: X → V が線形写像のとき、g: V → X が存在することを示せ。 また、f: Im(g) → Im(f) が同型写像であることを示せ。 V,WがR上の線形空間のとき。 V,WはR上の線形空間、f：V→Wは全単射R-線形写像とします。｛e_1,…,e_n｝がVの基底ならば｛f(e_1),…,f(e_n)｝はWの基底であると示せますか？ 線形写像と線形変換 線形写像と線形変換 V , W をK上のベクトル空間とする。このときベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像fが、 Vの任意の要素x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fをVからWへの線形写像と言う。 これが線形写像の定義です。 別の記載では、R^n,R^mをk上のベクトル空間とする。このときベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^m への線形写像という。 ここで、テキストにはfがVからV自身への線形写像である時fを線形変換と呼ぶと記載されているのですが、 「VからV自身への線形写像」のイメージがあまりつきません・・・ 次元が同じ場合であれば線形変換？と思ったのですが間違いでしょうか？ よろしくお願い致します。 同型写像の証明問題 問題）ｆ：Ｒ＾ｎ→Ｒ＾ｎを同型写像とする。このとき、ｆの逆写像も同型写像となることを証明せよ。 以上の問題の方針として、Ｖを集合とした時に写像ｆ：Ｖ→Ｖ、ｇ：Ｖ→Ｖにおいてｆ◦ｇ＝idｖ、ｇ◦ｆ＝idvならば、ｆ、ｇは全単射であることを用いるのではないかと思ったのですが、これで正しいでしょうか。間違っていれば正しい方針を教えていただけないでしょうか。 線形写像について 教科書や参考文献を見ても、線形写像のことがわかりやすく書かれてありません。しかし、問題としては、かなりのウェイトで出てくるのです。そこでですが、f:R^3→R^4,f（［x,y,z,w］）=［x-y＋z＋w,x＋2z-w,x＋y＋3z-3w］の線形写像の像と核の基底と次元の求め方を教えてください。 線形写像についての質問です 線形写像T:V→V´が単車ならdimV=dimT(V)になることを示せ この問題が分かりません… 線形写像について 次の写像は線形写像か？という問題で T(f(x))＝2f'(x)+3f(x)というのがあって 答えに「線形写像でない」と書いてあるのですが理由がわかりません。 教えてください。お願いします。 線形写像のテンソル積について。 線形写像のテンソル積について。 V_1,V_2,W_1,W_2を、それぞれ体F上の有限次元ベクトル空間とする。 双線形写像Φ；Hom(V_1,W_1)×Hom(V_2,W_2)→Hom(V_1(×)V_2,W_1(×)W_2)を、 Φ(f_1,f_2)＝f_1(×)f_2と定義する。 ※但し、f_1(×)f_2は、v_1(×)v_2をf(v_1)(×)f(v_2)に移す写像。 ※(×)はテンソル積の記号です。 このとき、ImΦが、Hom(V_1(×)V_2,W_1(×)W_2)を生成する理由を教えてください。 線形写像 計量線形空間の部分空間Wの直交補空間をW⊥で表したとする。ｙ∈Ｗ、ｙ’∈Ｗ⊥に対して、ｘ＝ｙ＋ｙ’を定める。ｙ＝ｆ（ｘ）の線形空間であるのはなぜだろうか。 そもそも線形写像がなんだか分からない 線型写像となる必要条件・・・？ 「f:V→V'が線型写像である必要条件は、Vのゼロ元の像がfによってV'のゼロ元に移ること」 これって（表現も含め）あってますか？ よろしくお願いします。 線形写像 Imfについて 線形写像f:V→V’のとき ImfはVの部分空間になることを示せ. っていう問題が本に書いているのですが、解き方（方針）が全く分かりません。 方針を教えてください。 線形写像 行列Ａがあって、複素線型空間C3における線型写像T をT(v) = Av (v∈C3)としたときの、 Tがなんだか分かりません。 どなたかお願いします。 同型写像 線形写像の基本定理 線形写像f:V→V'について、次の基本定理が成り立つ。 （1）V/Kerf～＝Imf……（*） （V/Kerf:商空間、Imf=f(v)） 次に、（1）を次元で考えると、次のようになる。 （2）dimV-dim(Kerf)=dim(Imf)……(**) これらの定理を用いて構わないので、「dimV=dimV'ならば、V～=V'となることを 証明しなさい。」という問題です。同型の記号が出ないので変になってますけど 気にしないでください(笑)。 VがV'と同型でないと仮定する。同型であるならば、Kerf={0}かつImf=V'が成り立 つので、そのときdim(Kerf)=0,dim(Imf)=dimV'である。よって、基本定理（**） から、 dimV-0≠dimV' ∴dimV≠dimV'となり、これは前提条件に反する。よって、dimV=dimV'ならば、V ～=V'となる。（証明終） たぶん私の解答は間違っていると思われるので、正しい解法を教えてください。 線形代数の問題の解き方がわかりません 以下の問題が解けなくて困っています。 Ｖ、Ｗをベクトル空間、ｖ1、ｖ2、…ｖn をＶの基底とし、ｗ1、ｗ2、…ｗmをＷの基底とする。ここで、dimＶ＝ｎ、dimＷ＝ｍとした。線形写像Ｔ:Ｖ→Ｗに対し、上記基底に対する表現行列をＡとする。 (1)線形写像Ｔが一対一(単射)かつ上へ(全射)の写像であるとき、その逆写像Ｔインバースは線形写像となることを示せ。(このとき、ＴはＶからＷへの同型写像といわれる。) (2)Ｔが同型写像であるときの必要十分条件は、ｎ＝ｍ かつ Ａは正則行列となることを示せ。またＴが同型写像であるとき、Ｔの逆写像の表現行列はＡの逆行列であることを示せ。 解き方がわかる方は教えてください。(1)だけなど、途中まででも構いません。 線形写像の例を探しています。 Fベクトル空間Vの線形写像全体の集合をV'と表す事にする(体FはC又はRとする)。 つまり、V'の元はVからFへの線形写像。 PをF上の多項式全体の集合, C[0,1]を区間[0,1]で連続な関数全体の集合, R^3を3次元実数空間 に於いて、P'やC[0,1]'やR^3'の元としてどのような例が挙げられますでしょうか? 線形写像の問題です。 線形写像の問題です。 V:n次元実ベクトル空間 線形写像f:V→V f^k:k回写像 とするとき (1)任意の自然数kに対して Imf^(k+1)⊂Imf^k を示せ (2)dimImf^k=1⇒f^(k+1)=cf^k (cは実数)を示せ (1)はImf^kの元からkerf^(k+1)の元を引いて、fで写像させるとImf^(k+1)だからなのはわかるんですが、どのように証明を書いたらいいですか？ (2)1次元の写像は1次元または0という意味ですよね？ 任意にn次元ベクトルxをとる。 dimImf^k=1より、 f^kは行ベクトルで (a,0,…,0) (転置ベクトルで書いている)と表せる。 f^(k)x=(ax,0,…,0)となる これをfで写像すると、Imf^(k+1)は1次元または0次元になっていないようにしか思えないんですが… よろしくお願いします。 線形写像Ｔの求め方 大学の線形台数の授業で今、線形写像の範囲を勉強しているのですが、 線形写像Ｔの求め方がわかりません。 問題は「Ｔ([1,2])=([3,1,-6])とＴ([-1,1])=[-3,5,6]より線形写像Ｔを求めよ 」(Ｔ:Ｖ^2→Ｖ^3)というものなのですが、Ｔをどのように求めればよいか分かりません。 高校では2つの式をくっつけて逆行列をかけて…と、 このようにして解いていたのですが、大学ではすべてが2次正方行列ではないので しっかりと大学で教わった解き方で解きたいです。 自分の考えでは、Ｔ=[Ｔ(1,0),Ｔ(0,1)]=[Ｔ(e1),T(e2)]にすればよいと思うのですが、 どの様にしてこの形に持っていくのでしょうか？ それ以前にこの考え方(方針)は間違っているでしょうか？ どうかよろしくお願いいたします。 注目のQ&A 「前置詞」が入った曲といえば？ 新幹線で駅弁食べますか？ ポテチを毎日3袋ずつ食べています。 優しいモラハラの見抜き方ってあるのか モテる女性の特徴は？ 口蓋裂と結婚 らくになりたい 喪女の恋愛、結婚 炭酸水の使い道は キリスト教やユダヤ教は、人殺しは地獄行きですか? カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど
補足
「fが同型写像」であることから， g・f＝idv かつ f・g＝idw （・は合成写像，idv,idwは恒等写像） となるgが存在することが言えますよね？ これを用いるのでしょうか？