写像

質問

集合Xから集合Yへの写像の全体のなす集合をY^Xと表すことにすれば、Y^Xから直積集合Π x∈X Y_xへの全単射が存在することを示せ。ただし、各x∈Xに対してY_x=Y。

この問題で、どのように示したらよいのか分かりません。いまいち、問題の意味も理解できていないので、丁寧な説明していただけると、助かります。
何かアドバイスなど、教えていただけると嬉しいです。

回答No.5

koko_u_

>>その「定義」にある(y_x)_(x∈X)が何かを補足して下さい。
>集合Xの元xに対して、集合y_xが決められているとき、
>(y_x)_(x∈X)はXの添字の集合とするXの部分集合族である。

y_x は集合なのですか？
(y_x)_(x∈X) は X の部分集合族(集合の集合)なのですか？ Y は何処に？

>>(y_x)∈(Y_x)は y_x ∈ Y_x ( = Y ) という意味ですか？
>はい、各x∈Xに対してY_x=Yなので、私はそうだと思っているのですが…。

私が聞きたかったのは、全体的に記号の使い方が不明瞭だということです。
y_x と (y_x) は字面が違う以上、別の意味を持つかもしれず、表現している内容が不明です。

(y_x)∈(Y_x) から y_x ∈ Y_x が論理的に導かれるわけではありません。

回答No.4

koko_u_

>ΠY_x の定義なんですが、πY_x={(y_x)_(x∈X)|∀x∈X:(y_x)∈(Y_x)}でしょうか？

その「定義」にある

(y_x)_(x∈X)

が何かを補足して下さい。

(y_x)∈(Y_x)

は y_x ∈ Y_x ( = Y ) という意味ですか？

補足

>その「定義」にある(y_x)_(x∈X)が何かを補足して下さい。
集合Xの元xに対して、集合y_xが決められているとき、(y_x)_(x∈X)はXの添字の集合とするXの部分集合族である。

>(y_x)∈(Y_x)は y_x ∈ Y_x ( = Y ) という意味ですか？
はい、各x∈Xに対してY_x=Yなので、私はそうだと思っているのですが…。

回答No.3

koko_u_

>>そもそも「可算個の集合の場合も同様に」など定義としてあるまじき態度です。
>私が使っているテキストにはそう書いてあったので、同じように書いたのですが

そんな適当な記述がされているテキストに質問文のような問題が掲載されているとは思えないのですが。

>(x1,x2,…)は、集合Y_xの元ですよね？

もちろん違います。
Y_x = Y なのでしょう？ Y の元が「対」として表現できるのですか？

まずはそのテキストから離れて、ΠY_x の定義を獲得するところから始めましょう。

補足

ΠY_x の定義なんですが、πY_x={(y_x)_(x∈X)|∀x∈X:(y_x)∈(Y_x)}でしょうか？

回答No.2

koko_u_

明らかに集合 X は可算とは限りません。一般の X について Π_{x∈X}Y_x を定義して下さい。

そもそも「可算個の集合の場合も同様に」など定義としてあるまじき態度です。
(x1, x2, ... ) が何者かわかっていますか？

補足

Π_(x∈X)Y_x={(y_x)_x∈X|∀x∈X:y_x∈Y_x}

>そもそも「可算個の集合の場合も同様に」など定義としてあるまじき態度です。
私が使っているテキストにはそう書いてあったので、同じように書いたのですが…いけないことなんですね。すみません。

(x1,x2,…)は、集合Y_xの元ですよね？

回答No.1

koko_u_

直積集合の方の定義は？

補足

集合X,Yの元から定まる対の集合{(x,y)|(x∈X)∧(y∈Y)}をXとYの直積集合という。
加算個の集合X_1,X_2,…の直積も同様に
Π(n=1 ∞)X_n={(x_1,x_2,…)|∀n∈N:x_n∈X_n}
により定義される。
ということは、習いました。