開写像って、どんな写像ですか。

質問

開写像は、開集合を開集合へ写しますが、どんな写像といえるのでしょうか。

連続写像は「近くにあるものたちを近くに写す写像」ですよね。写像が全単射であれば、逆写像が連続写像であることと同値であるので、「遠くにあるものたちを遠くに写す写像」といえるような気がします。
位相の強弱を考えても、domainの開集合が多ければ、「近いものたち」が少なくなり連続写像になりやすく、domainの開集合が少なければ、「遠いものたち」が少なくなり開写像になりやすいため、直観にも合っていると思います。（恒等写像で、domainにtrivial topology、codomainにdiscrete topologyを入れる例など）
（全単射だと開写像であることと閉写像であることは同値になるので、普通に考えると、これは閉写像のイメージかもしれません。）

しかしながら、全単射でなければ、例えばRから円周への写像f(x)=exp(2πix)は開写像なので、上記のような解釈はできません。いったい、開写像とは、どういう写像なのでしょうか。

ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

noname#221368

f(x)=exp(2πix)のような、連続開写像で考えます。f：Ｘ→Ｙとして、同値関係、

　　Ｒ：f(x)＝f(y)

を考えれば、商空間Ｘ／Ｒをつくれます。fが連続なので、Ｘ／Ｒの商位相はもとの位相と両立します。つまりＡ⊂f(Ｘ)が開なら、Ｇ：Ｘ／Ｒ→f(Ｘ)をＧ(c(x))＝f(x)として、Ｇinv(Ａ)はＸのＲに関する充満開集合でＸ／Ｒでも開です。ここで、c(x)はＲに関するxの同値類，Ｇinv(Ａ)はＡの逆像です。
　従ってＧの定義により、Ｇは連続な全単射で開写像です。問題は、Ｘ／Ｒをどういう意味に読むかですが、それはケースバイケースになると思えます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

開写像は、それ自体では「これこれこういう写像」という特徴をもたず、全単射性や連続性といっしょになって真価を発揮する写像ということなのでしょうか。（同相への最後の砦？）

> 従ってＧの定義により、Ｇは連続な全単射で開写像です。
この場合は、写像fをもとに商集合を作り、商位相を入れたため、もとのfで「離れていたものたちが近くに来てしまう」状況が回避されている、とも解釈できるのでしょうか。

まだ、もやもや感は消えませんが、なんとか概念に慣れるよう勉強していきたいと思います。
ありがとうございました。