階段型ポテンシャル障壁について質問です

質問

波動関数の求め方はどのようになっているのでしょうか？

階段型ポテンシャル障壁の波動関数を求める際
エネルギーEが障壁V0より大きい場合と小さい場合の二通り
ありますよね。

0＜V0＜Eの場合は
粒子を入射したら透過し、障壁の向こうには反射する粒子は存在しえず、
透過粒子しか存在しないため
Φ＝Ae^(ikx)　
のようになると教科書やネットに書かれています。　
しかし、
0＜E,＜V0の場合は
無限遠方で発散を避けるため
Φ＝Be^(-Kx)
というようになっています。

僕は後者の求め方には納得しています。
前者の方は透過するならなおさら無限遠方を考慮したほうが良いのではないかと思います。

そして、最後の定数についてです。
障壁の前では
反射と入射によって波動関数は
Φ＝Ae^(ikx )+Be^(-ikx)
となります。このAとBを求める際、
障壁の向こうの波動関数との連続条件から
求めると思いますが、この反射と入射でできた波動関数は
sin cosの形にしてA,Bを求めても良いのでしょうか？
加えて、sin(kf+φ）のように合成しても良いのでしょうか？定数が1つ減るので気になります。

以上です。
駄文ですみません。
独学なため、おかしな記述・表現の箇所があるかもしれませんが、
どうかよろしくお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

E<V0の場合、
x>0での独立な解はe^(+Kx),e^(-Kx)の2つなのですが、前者はx→+∞で発散してしまうのでe^(+Kx)の係数は0でなければいけないという事が境界条件から出てきます。

一方、V0<Eの場合には、
x>0での独立な解はe^(+ikx),e^(-ikx)の2つですが、どのように線形結合をとってもx→+∞で発散しませんので、これらの係数に制限はつきません。
同様にx<0の方でも制限がつかないので独立な解が2つ存在しています。
解が2つ存在する事は、古典的には「x<0の側から粒子を入射した場合」と「x>0の側から粒子を入射した場合」の2つの解が存在する事から当然のことと言えます。

このうち「x<0の側のみから粒子を入射した場合(x>0の側からは入射しない場合)」を考えたい場合には、x>0でe^(-ikx)の係数が0になる、つまり、
>Φ＝Ae^(ikx)　
となるのです。

お礼

ありがとうございました。
納得しました^＾

回答No.1

eatern27

>前者の方は透過するならなおさら無限遠方を考慮したほうが良いのではないかと思います。
具体的に無限遠方の何をどう考慮した方が良いと仰っているのですか？

>sin cosの形にしてA,Bを求めても良いのでしょうか？
そうしたいのであればしても良いですが、
単に分かりにくくなるだけでしょうから物理的にはお勧めできません。

>加えて、sin(kf+φ）のように合成しても良いのでしょうか？
sin,cosの係数が複素数だと三角関数の合成はできないような気がしますが。

補足

>具体的に無限遠方の何をどう考慮した方が良いと仰っているのですか？
すみません。うまく答えられないです。
では、エネルギーとポテンシャルの二通りで、発散を避けるためとか反射する粒子が存在しないからとかいうようにどうして波動関数の求め方が違うのでしょうか？

>sin,cosの係数が複素数だと三角関数の合成はできないような気がしますが。
そうですね。