トンネル効果 確率流れ密度

質問

トンネル効果(一次元)で左から粒子がやってきて右へ抜ける系で

　透過率や反射率を波動関数の確率流れ密度Ｊ(x,t)＝(ih/2m)(∇ψ*ψーψ*∇ψ)　:(一次元) の比で求めるとき、
　波動関数がψ＝Ａexp(ikx)+Ｂexp(-ikx)なら確率流れ密度はＪ＝hk/2m(|A|^2-|B|^2)で左からＡで流れてＢで反射するというのはわかるんです。が、

　波動関数がψ＝Ａsin(kx)+Ｂcos(kx)の場合（箱の中の粒子の波動関数）は、確率が外に流れ出さないからＪ＝０となると思ったんですが計算してみると
　Ｊ＝ihk/2m(A*B-B*A)（この時点では複素数）となり、　A＝a+bi、B＝c+diとして計算すると
　Ｊ＝hk/m(ad-bc)となり、値をもってしまうんです。

　これってどういうことでしょう？粒子が流れ出ているとしか解釈できないような気がするんですが。

　（ｈはすべてｈバーです。書けませんでした（汗））

ψ＝Ａsinkx + Ｂcoskxとおくと

回答No.2

cocksan · ベストアンサー

補足に対して

ψ(x)＝Aexp(kx) + Bexp(-kx)
とりあえずこの形になりますね。
ψ(0)＝A + B
ψ(a)＝Aexp(ka) + Bexp(-ka)

ポテンシャルV(x)=V0>Eは0<x<aの範囲ですが、
ここで、aをず～～～っと大きくしてみてください。
ψの第二項は０に収束します。
ψの第1項は指数関数的に増大します。

ポテンシャルが低いところよりも高いところの
ほうが存在確率は低くなるはずです。
つまり、粒子はポテンシャルが高いところには
なかなか入り込めないハズです。

それにもかかわらず、第1項の影響で奥へ行けば奥へ
行くほど確率振幅φが増大します。
ようするに、この第1項は数学的には解だが、
物理的には意味の無い解ということです。

結局、波動関数は
ψ(x)＝Bexp(-kx)
Bは波動関数がx=0で滑らかに接続する(x=0で連続）と
いう条件から決定されるはずです。

ちなみに確率のカレントは
Ｊ(x,t)＝(ih/4πm)(-kB^2exp(-2kx)+kB^2exp(-2kx))
Ｊ(x,t)＝0

ポテンシャル中では確率の流れは無いってことです。

お礼

親切な回答、ありがとうございます！しっかりとわかりました！満足感たっぷりです！ありがとうございました！

回答No.1

cocksan

3次元にするといろいろとめんどくさいので1次元で話をする。
まず、前提が間違ってます。1次元の箱、つまり井戸型
ポテンシャル中、つまり
V(x)＝0　　(0<x<a)
V(x)＝∞　（x<0,a<x)
の0<x<aにおいて波動関数を
ψ(x)＝Ａsin(kx)+Ｂcos(kx)
とおくと、x=0,aでポテンシャルが無限大より
粒子の存在確率は0でないといけないので、
ψ(0)=0より、B=0
ψ(a)=0より、k=nπ　(nは自然数)
また、∫ψ^*ψdx=1より、A=(2/a)^(1/2)

よって波動関数は、8めんどくさいのでA,kそのまま)
ψ(x)=A*sin(kx)　　

確率のカレントは
Ｊ(x,t)＝(ih/4πm)(ψdψ^*/dx－ψ^*dψ/dx)
　　　 ＝(ih/4πm)(A^2ksin(kx)cos(kx)-A^2ksin(kx)cos(kx))
＝0
となり、確立のカレント(流れ)は0になります。

補足

なぁるほど！そんな単純なミスを…恥ずかしい。親切に答えてくださってありがとうございます。
　それで補足なんですが、トンネル効果で粒子のＥより高いポテンシャルVo（0<x<a）の中での波動関数は　シュレーディンガー方程式より
　　 dψ/dx=4πm/h (Vo-E)ψ = k^2ψ となり
ψ＝Aexp(kx) + Bexp(-kx)　となるんですがこの時はｘ＝０、ｘ＝aでの境界条件があってもＡ，Ｂは０にならずに　　Ｊ＝ihk/2m(A*B-B*A)となってしまいますよね。この時は流れていると思っていいんでしょうか？