トンネル効果について

質問

独学で量子論を勉強している大学一年生です。教科書はアトキンス物理化学要論第5版をつかっています。
早速質問です。
教科書に、
「粒子が容器の壁の中に入り込んでいるとき、そのポテンシャルエネルギーが無限大ではないが、E<Vであれば(全エネルギーがポテンシャルエネルギーよりも小さく、古典的には粒子が容器から脱出できない)、波動関数は急に0になる訳ではない。」
とかいてあるのですが、全エネルギーはポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和のことなので、E<Vのとき、運動エネルギーが負になると思います。これはあり得るのですか？
また、シュレディンガー方程式を使えば、障壁にぶつかる粒子がトンネルする確率を求められるらしいのですが、どのようにもとめられますか？

一次元のシュレディンガー方程式
-(h^2)/2m(d^2ψ/dx^2)+V(x)ψ=Eψ
で、V(x)を障壁におけるポテンシャルエネルギーV(>E)として、ψ=Ae^(λx)とおくと、λ=±√{2m(V-E)}/ h となったのですが、ここからどうすればよいのかわかりません。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

☆全エネルギーはポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和のことなので、運動エネルギーが負になると思います。これはあり得るのですか？
◇ポテンシャルの壁のむこうがわで、
どうして運動エネルギーが負になってはいけないのよ（ニコニコ）。

運動エネルギーは(1/2)mv^2だから？
これは古典力学での運動エネルギーだよ。

☆また、シュレディンガー方程式を使えば、障壁にぶつかる粒子がトンネルする確率を求められるらしいのですが、どのようにもとめられますか？
◇まず、シュレディンガー方程式ね。
ポテンシャルVを
　　V = 0　　（x < 0)
　　V = V0　　（0 ≦ x)
とする。

すると、シュレディンガー方程式は
　-h^2/2m・d^2ψ/dx^2 = Eψ　　（x < 0）　　　　　（１）
　-h^2/2m・d^2ψ/dx^2 = (E-V0)ψ　　（0 < x)　　　（２）

そして、（１）と（２）の微分方程式の解を求める。

ここで大切なのは、
x= 0で、
（１）の微分方程式を解いた解ψ1と（２）の微分方程式の解ψ2が、一階微分を含めて連続であること。
つまり、
x=0で
　　ψ1(0) = ψ2(0)
　　dψ1/dx = dψ2/dx
とならなければならない。

こうすると、一応、シュレディンガー方程式の解は求まります。

で、この後、《確率密度の流れ》を計算する。
そうすると、透過率と反射率が求まる。

この計算は、
現代物理学序論第一　講義ノート
http://www.stat.phys.titech.ac.jp/~nishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf

のp.64以降を読んでください。

☆V(x)を障壁におけるポテンシャルエネルギーV(>E)として、ψ=Ae^(λx)とおくと、λ=±√{2m(V-E)}/h となったのですが、ここからどうすればよいのかわかりません。
◇λが正の値だと、x→∞で、波動関数ψは発散してしまう。物理的にこの解はおかしい！！
なので、プラスの値は捨てる。
そうすると、
　ψ = Ae^[-√{2m(V-E)}/h]
となって、ψは減衰します。
x→∞で、ψ→0となる。

お礼

ありがとうございます。