ホチキス(U字型の針金の慣性モーメント)

質問

このような図のホチキス型の針金のx軸周りの慣性モーメントを求める問題の解き方が分かりません。期限が明日までなのでなるべく早くどなたか教えて頂けませんか？ちなみに答えは(5Ml^2)/9らしいです。お願いします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

この手の問題では、対象物を、幾つかの「単純な形状の物体」の寄せ集めとして見ると良いでしょう。

本問では、添付図のように、Ａ，Ｂ，Ｃの３つのパーツを組み合わせた物と見なせば、見易いでしょう。

Ａは、回転軸からの距離が Ｌ の位置に、棒の全てが有りますから、棒というよりも、回転軸から Ｌ 離れた位置に、質量ｍの質点が有る場合と全く同じ扱いで良いです。その慣性質量Ｉは
　Ｉ＝ｍ・Ｌ^2

Ｂ，Ｃは、端点が回転軸に位置し、棒の向きが回転軸に対して垂直ですから、その慣性モーメントＩ'は
　Ｉ'＝(1/3)ｍ・Ｌ^2　　※

Ａ，Ｂ，Ｃまとめた全体では
　Ｉ全＝ｍＬ^2＋2・{(1/3)ｍ・Ｌ^2}
　＝(5/3)・ｍ・Ｌ^2

ところで、３つのパーツの質量合計がＭですから、
　ｍ＝(1/3)・Ｍ　
なので
　Ｉ全＝(5/3)・ｍ・Ｌ^2
　＝(5/3)・(Ｍ/3)・Ｌ^2
　＝(5/9)・Ｍ・Ｌ^2

ちなみに、ｙ軸の回りのモーメントも、同様に求められます。
この場合は、Ａの場合は、回転軸が、Ａの中心を通って棒に垂直ですから
　Ｉ＝(1/12)・ｍＬ^2　※
Ｂ，Ｃは回転軸から(Ｌ/2)離れた地点に有る質点と見なせて
　Ｉ'＝ｍ・(Ｌ/2)^2
∴Ｉ全＝(1/12)・ｍＬ^2＋2・{(1/4)・ｍ・Ｌ^2}
　＝(7/36)・Ｍ・Ｌ^2

※どちらも、よく知られている慣性モーメントの「公式」みたいなものなので、その算出過程(積分計算します)は省略しました。これを知りたい場合は、サイトを探せばいくらでも見つかります。

お礼

わざわざ図を作っていただきありがとうございました！！！！