数値積分の重み関数について

質問

被積分関数 f(x) をガウスの積分公式を使って数値積分する場合、重み関数を w(x) とすると、
∫w(x)f(x)dx≒Σaf(xi)
となりますが、
これでは、被積分関数は f(x) でなくて w(x)f(x) となってしまうと思います。
なので、本来計算したい ∫f(x)dx の値ではなく、∫w(x)f(x)dx の値となるので、結果が変わってしまうのではないかと思うのですが、あまりにも低レベルのことなのか、この疑問を解消してくれるような説明が本に載っていません。
どなたか教えてくれませんでしょうか。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> これでは、被積分関数は f(x) でなくて w(x)f(x) となってしまうと思います。

その通りですね。

> 本来計算したい ∫f(x)dx の値ではなく、∫w(x)f(x)dx の値となるので、結果が変わってしまうのではないかと思う

w(x)=1でない限りそうでしょうね。しかし
∫f(x)dx≒Σ(a[i]/w(x[i]))f(x[i])
としてしまえば，何の問題もないでしょう。

回答No.3

noname#221368

ガウスの積分公式は、積分区間内の数点（点数固定）の関数値に係数を掛け合わせたものを足し算して、積分値を効率良く近似するもの．

　上記は良いですよね？。#1さんと同じ意見なんですが、Σw(xi)f(xi)の形だと、Σと、Σの範囲を表わすi＝1，i＝点数の下付，上付添字と、xiの下付iをいちいち書くので、わずらわしいという事で、∫w(x)f(x)dx と略記してしまった可能性はあると思います（本によっては）。でもこれではあんまりだ、という事で、具体的な足し算のイメージを見せるために、わざわざΣaf(xi)も導入した（これも省略記法）。なのでむしろ、

　　∫f(x)dx≒∫w(x)f(x)dx＝Σaf(xi)

という事かな？、と思いました（言ってる事は#1さんと同じです）。この場合、省略した書き方の意味で、w(x)＝a（本当は、w(xi)＝a(i)）となります。もう一度「文脈を」確認してみて下さい。

回答No.2

Tacosan

あれ? 「ガウスの積分公式」ってそんなやつでしたっけ?
むしろ
∫f(x)dx≒Σw(xi)f(xi)
という形のような気がするんだけど....
その右辺の「a」はどこから出てきたんでしょうか?