分数関数の積分

質問

積分後の文字の範囲がわからないので質問します。
∫1/(x^2-a^2)dx=1/(2a)∫{1/(x-a)-1/(x+a)}dx=
1/(2a){log|x-a|-log|x+a|}+C(Cは積分定数)=
1/(2a)log|(x-a)/(x+a)|+C (a>0)と書かれていて、最後のa>0記述がわかりません。インターネットで調べたころa≠0の時上記のような答え。a=0の時は∫x^(-2)dxを計算していました。a=0のとき1/2aの分母を0にしまうのでa≠0はわかるのですが、a>0かa≠0どちらが正しいかどなたか教えてくださいお願いします。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

∫1/(x^2-a^2)dx
=1/(2a)∫{1/(x-a)-1/(x+a)}dx
ここまで計算した後に
「a=0のとき1/2aの分母を0にしまう……」
と気づくことが一つのカギです。つまりa≠0の場合ならこの計算を続ければよい。そしてa=0の場合は，元の式に戻って計算をしましょう。
そして次のように場合分けで答えることになるでしょう。

（１）a≠0のとき
∫1/(x^2-a^2)dx
=1/(2a)∫{1/(x-a)-1/(x+a)}dx
=1/(2a){log|x-a|-log|x+a|}+C(Cは積分定数)

（２）a=0のとき
∫1/(x^2-a^2)dx
=∫1/(x^2)dx
=∫x^(-2)dx
=-1x^(-1)+C
=-1/x+C (Cは積分定数)

となるのですが……。

※　a>0が気になります。元の問題には「a≧0」のような条件があったのですか？

お礼

お返事ありがとうございます。本が間違っていると考えることにします。

補足

問題の最初に条件として、a>0の範囲で考えるとは書いてないようで、答えの後に(a>0)と書かれていました。