無理代数関数の分数の積分法について

質問

試験データを次式で表した時の積分が必要になり、公式を探してみたのですが見つからず、数値積分で行っています。できれば数式展開により積分結果を式で表したいのですが、どなたか教えていただけないでしょうか。
f(x)=ax/{1+b(x+c)^p}
pは正の実数で^はべき乗を表し、a,b,cは定数、xが変数で、ほしいのはf(x)の不定積分の数式表示です。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

p が実験値なのならば、適当な制度で有理近似してしまえばよいでしょう。
測定された数値に、有理数も無理数もヘッタクレもありません。
任意の実数は、任意の精度で有理近似できます。アルキメデスの公理というヤツです。

例えば、p = 0.86 なら、既に有理近似されていて、A No.2 で n = 50 の場合にあたります。

お礼

ありがとうございます。小生には難かしく、結果が得られるかどうか自信はありませんが、やってみます。

回答No.2

arrysthmia

p が有理数なら、既約分数で m/n だとして、
u = (x + c)~(1/n) で置換するとよいですね。
無理数だと、厳密解を陽に表示するのは
たぶん無理そうだけど、無理なことを証明
するのは難しそう。

補足

ありがとうございます。実際にはpの値は試験データの性質により、
0.0<p<1.0の間で任意の実数値、例えば0.86のような値をとります。

回答No.1

spring135

1/pが整数のときは解析解はありますが、そうでないときはありません。
変数変換u=b(x+c)^pを行って∫(u/b)^(2/p-1)/(1+u)du, ∫(u/b)^(1/p-1)/(1+u)duの積分を行うことになります。1/p-1が整数のときは岩波全書の数学公式Iの72ページに出ています。

お礼

早速のご回答、ありがとうございました。
積分公式がないということですか、残念です。

補足

次のURLの公式で調べたところ、一般公式はなくpを数値で与えると超幾何関数であらわされる解が出るようです。ありがとうございました。

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x%2F%281%2Ba%28x-b%29%5E0.85%29&random=false