＜至急＞教えて下さい。 導関数の例題

質問

青チャート　数学III　微分法の例題の解説が読んでも理解できません。
問題は、式 y=a＾x (a＞0、aは1にあらず） の 第２次導関数と第３次導関数を求めよ、です。

y´=a＾x＊LOG(a) の導関数が、なぜ、y"=a＾x＊（LOG(a) ）＾2 になるのか理解できません。 また 、y"=a＾x＊（LOG(a) ）＾2の導関数が、なぜ、y"'=a＾x＊（LOG(a) ）＾3になるのかも理解できません。 どなたか、教えて頂けないでしょうか？
宜しくお願い致します。

回答No.1

aqfeplus · ベストアンサー

y´=(a＾x)*log(a)は理解できたのですね。
あとは、
y' = (f(x)g(x))' =f'g+fg'
を使えばできますよ。

y''=( (a＾x)*log(a) )' = (a^x)' *log(a) + (a^x) * (log(a))'
=y' *log(a) + (a^x)*0
=((a＾x)*log(a)) *log(a)
=(a＾x)*(log(a))^2

y'''も同様です。

お礼

早速にご教授いただき、どうも有難うございました。
理解できました。助かりました。
他の方もご親切に有難うございました。
一番、速かったので、ベストアンサーにさせて
頂きました。
本当に、有難うございました。

回答No.4

Knotopolog

復習のつもりで，
y＝a^x（ a＞0, a≠1 ）の導関数から計算してみましょう．

まず， y＝a^x の両辺の対数（自然対数）とります．
log(y)＝log(a^x)＝x・log(a)
log(y)＝x・log(a)
この両辺を x で微分すると，
(y'/y)＝log(a)
となります．よって，y' は，
y'＝y・log(a)＝(a^x)・log(a)

y'＝(a^x)・log(a)

となります． y＝a^x の第２次導関数を求めるには，
y'＝(a^x)・log(a)の両辺を x で微分すると得られます．
まず，y'＝(a^x)・log(a)の両辺の対数をとると，
log(y')＝log((a^x)・log(a))＝log(a^x)＋log(log(a))＝x・log(a)＋log(log(a))

log(y')＝x・log(a)＋log(log(a))

ですから，この式の両辺を x で微分すると，
(y''/y')＝log(a)＋0
したがって，第２次導関数 y'' は，
y''＝y'・log(a)＝(a^x)・(log(a))^2

y''＝(a^x)・(log(a))^2

となります．もう一度，この式を微分して第３次導関数を求めるために，両辺の対数をとります．
log(y'')＝log((a^x)・(log(a))^2)＝log(a^x)＋log((log(a))^2)＝x・log(a)＋log((log(a))^2)

log(y'')＝x・log(a)＋log((log(a))^2)

この式の両辺を x で微分すると，
(y'''/y'')＝log(a)＋0
この式から第３次導関数は，
y'''＝y''・log(a)＝(a^x)・(log(a))^2 ・log(a)＝(a^x)・(log(a))^3

y'''＝(a^x)・(log(a))^3

となります．

お礼

早速にご教授いただき、どうも有難うございました。

ご丁寧なご説明に感謝いたします。
よく理解できました。助かりました。

本当に、有難うございましたm(_ _)m

回答No.3

yyssaa

＞y=a^x、両辺の対数をとってlog_e(y)=x*log_e(a)
両辺をxで微分して(1/y)dy/dx=log_e(a)だから
y'=dy/dx=y*log_e(a)=(a^x)*log_e(a)
y''=dy'/dx=(dy/dx)*log_e(a)=y*log_e(a)*log_e(a)
=(a^x)*log_e(a)*log_e(a)=(a^x)*{log_e(a)}^2
y'''=dy''/dx=(dy/dx)*log_e(a)*log_e(a)
=y*log_e(a)*log_e(a)*log_e(a)
=a^x*log_e(a)*log_e(a)*log_e(a)=a^x*{log_e(a)}^3

お礼

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回答No.2

info22_

まず公式
　a^x=e^(xlog(a))
を確認して下さい。
両辺の自然対数をとれば、公式が成り立つことは理解できるでしょう。

本題に帰って
公式a^x=e^(xlog(a))より
　y=a^x=e^(xlog(a))
　y'={e^(xlog(a))}(xlog(a))'={e^(xlog(a))}log(a)...(A)
公式a^x=e^(xlog(a))より
　y'=(a^x)log(a)

(A)より
　y"={e^(xlog(a))}'*log(a)
　　={e^(xlog(a))}(xlog(a))'*log(a)
　　={e^(xlog(a))}{log(a)}^2　...(B)
公式a^x=e^(xlog(a))より
　y"=(a^x){log(a)}^2

(B)より
　y'''={e^(xlog(a))}'*{log(a)}^2
　　={e^(xlog(a))}(xlog(a))'*{log(a)}^2
　　={e^(xlog(a))}*{log(a)}^3
公式a^x=e^(xlog(a))より
　y'''=(a^x){log(a)}^3

お礼

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よく理解できました。助かりました。

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