極限をつかった定義式からの関数の微分がうまくいきません。

質問

極限をつかった定義式からの関数の微分がうまくいきません。

log(2x)

sin2x

sinx^2

ain(1/x)

これらの関数の極限をつかった定義式からの微分がなんともうまくいきません。どなたか分かる方がいらっしゃいましたら解説をよろしくお願いいたします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

(1)
log(2x)=log(x)+log(2).

[log(x+h)-log(x)]/h=log[(1+h/x)^{x/h}]/x.

e=lim_{h→∞}(1+1/h)^h.
ただし、log連続関数であること、つまりlim log(x_n)=log(lim x_m)、を示す必要あり。

(2)
sin(A)-sin(B)=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2).
sin(x)/x→1(x→0)を使う。

sin(2x+2h)-sin(2x)
=2cos(2x+h)sin(h)/h.

(3)
ほぼsin(x)と同じ。

[sin^2(x+h)-sin^2(x)]/h
=[sin(x+h)+sin(x)]×[sin(x+h)-sin(x)]/h.
→2sin(x)[sin(x)]'

(4)
三角関数の公式と
sin(x)/x→1(x→0)を使う。

2A=1/(x+h)+1/x=(2x+h)/x(x+h).
2B=1/(x+h)-1/x=-h/x(x+h).
h=-2Bx(x+h).
[sin(1/(x+h))-sin(1/x)]/h
=2cos(A)sin(B)/h
=-2cos(A)sin(B)/2Bx(x+h)
→-cos(1/x)/x^2

お礼

よく分かりました。ありがとうございます。