チャート式数学I+A 465ページ 例題125

質問

チャート式　基礎からの数学(青)I+A　
465ページ記載の例題125の解説がわかりません。
(3)の解説のラスト2行が納得できません。
a∈Mならばa∈Nとなるから　M⊂N…(4)
となっています。
なぜ、M⊂Nなのでしょうか？
N⊂Mでもあると思います。
N⊂Mであれば、M=Nとはいえなくなります。
わかりやすい解説をお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(4)は、正しい。M⊂N の意味は、A No.1 に書いた通りです。
同心円二個からなるベン図を書いて、どちらの円が M のとき
「a∈M ならば a∈N」が成り立つか、確認してください。
相手からハミ出す元が有るのは、M ですか、N ですか？

お礼

理解できました！
論理の展開を理解していませんでした。
a∈Mを満たす、すべてのaはNに属することを説明しているのが、
「一方，a∈Mに対して，aをdで割った商をq，…」以下であることが、やっと理解できました。
ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

青チャートを持っていないので、問題がわからないが、
質問文から見て、↓この話題じゃないのかな？
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/include1.htm
「部分集合を表わす記号 A⊂B」の節の「※ （注意）」を参照

数学では、昔から、部分集合は A⊂B と書くのが普通だが、
以前の学校教科書では、部分集合 A⊆B 真部分集合 A⊂B が使われていた。
私も、小学校の時(というと世代がバレるが) A⊆B の書き方を習った。
どうやら最近まで、高校でも A⊆B と教えていたらしく、書籍や
ネット上でも、未だにこのスタイルを使ったものが在る。↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
困ったものだ。

常識的には、M⊂N は M が N の部分集合であることを指すので、
その意味は (a∈M ならば a∈N) そのもの。
M⊂N は M=N の場合を含んでおり、M=N ⇔ (M⊂N かつ N⊂M) である。

補足

回答ありがとうございます。
すみません。質問の方法がいい加減でした。
問題と解説を記述します。

【例題125】
整数全体の集合をZとする。Zの部分集合M（ただし，空集合でない）が，
「a，b∈M　ならば　a-b∈M」…(A)
という性質をもつとき，次のことを示せ。
(1)0∈M　　　(2)a，b∈M　ならば　a+b∈M
(3)Mは0以外の要素を含み，Mに属する最小の自然数をdとすると，Mはdの倍数全体の集合と一致する（すなわち，M={kd|k∈Z}と表される）。

【解答】
(1)Mは空集合でないから，少なくとも1つの要素aを含む。
a，a∈Mであるから　a-a∈M　すなわち　0∈M

(2)0∈M，a∈Mであるから
0-a∈M　すなわち　-a∈M…(1)
また，a∈M，b∈Mとすると，(1)から　-b∈M
よって　a-(-b)∈M　すなわち　a+b∈M…(2)

(3)Mが0以外の要素を含めば，a∈Mと-a∈Mから，Mは自然数を含む。
ここで，Mに属する最小の自然数をdとし，dの倍数全体の集合をNとする。
(2)から　2d=d+d∈M，3d=2d+d∈M，4d+d∈M，…
(1)から　-d∈M，-2d∈M，-3d∈M，-4d∈M，…となる。
よって，dの倍数はすべてMに属する。
したがって　N⊂M…(3)
一方，a∈Mに対して，aをdで割った商をq，余りをrとすると，a=dq+r，0≦r＜である整数q，rが定まる。
dの倍数はすべてMに属するから　dq∈M
また，a∈Mであるから　r=a-dq∈M
ここで，r≠0とすると，0＜r＜dとなり，dがMに属する最小の自然数という仮定に反する。
ゆえに　r=0　よって　a=dq∈N
a∈Mならばa∈Nとなるから，M⊂N…(4)
したがって，(3)，(4)から，　M=N（dの倍数全体の集合）

【不明なところ】
(3)の解説ので，「a∈Mならばa∈Nとなるから，M⊂N…(4)
」が納得できません。
「a∈M ならばa∈Nとなるから，M⊃N」ともいえると思います。
これが、正しいとすると結論のM=Nにたどり着かず，N⊂Mとしか言えないのではないでしょうか？
解答の「一方，a∈M…以下はMがNの部分集合であることを証明し，MとNが互いの部分集合であることよりM=Nに帰着しようとしている部分と思いますが，ラスト2行目が納得できないため，解答が理解できません。

解説をよろしくお願いします。