一次導関数、二次導関数

質問

一次導関数、二次導関数について

y=log|tan(x/2)|の一次導関数、二次導関数を教えてくさい。
微分のやり方は分かるのですが、答えを導くところまでできません。

回答よろしくお願いします。

回答No.4

Water_5

y=log|tan(x/2)|の一次導関数

y=logf(x)の時、y'=f'(x)/f(x)の公式を使います。

y'=(tan(x/2))' /tan(x/2)=(1/2)((sec(x/2))^2 /tan(x/2)=1/(2sin(x/2)cos(x/2))
=1/sin(x)

参考URL：

http://sky.geocities.jp/saganly/

回答No.3

info222_

xを-xと置いても、yの値は同じであるから
y=log(|tan(x/2)|)　(x≠0)
のグラフはy軸対称（偶関数）です。
したがって　ｘ≧0として導関数を求めれば他方も判る。
x=0で関数は未定義なので　x>0として導関数を計算すればよい。
x>0なので
y=log(|tan(x/2)|)=log(tan(x/2))
y'=(tan(x/2))' /tan(x/2)=(1/2)((sec(x/2))^2 /tan(x/2)=1/(2sin(x/2)cos(x/2))=1/sin(x)
y''=-cos(x)/(sin(x))^2

以上から x<0の場合も考慮して
y=log(|tan(x/2)|)　(x≠0)の導関数は
y'=1/sin(x) (x≠0)
y''=-cos(x)/(sin(x))^2 )=-cot(x)/sin(x) (x≠0)
となります。

回答No.2

bran111

一般に
y=logf(x) (1)
の微分は
y'=f'(x)/f(x) (2)
です。これは対数微分でよく使われる式で教科書に証明が出ています。簡単に復習すると
(1)より
f(x)=e^y
両辺をxで微分して
f'(x)=y'e^y=y'f(x)
これから
y'=f'(x)/f(x)

問題は
y=logf(x), f(x)=|tan(x/2)|
| |のある関数は機械的に計算してはいけません。いきなり
f'(x)=|d(tan(x/2)/dx|
とするのは間違いです。
f(x)=|tan(x/2)|はグラフを書いてみればわかるように
-π<x<0 : f(x)=-tan(x/2) : f'(x)=-(1/2)/cos^2(x/2)
0<x<π : f(x)=tan(x/2) : f'(x)=(1/2)/cos^2(x/2)
です。x=0では折れ曲がりがあって
lim(x→-0)f'(x)=-1/2
lim(x→+0)f'(x)'=1/2
f'(x)は不連続となります。-π<x<πの外側では周期関数としてこの繰り返しになります。

しかし(2)で与えたy'を-π<x<0 , 0<x<πに分けて計算すると符号が打ち消しあっていずれも
y'=f'(x)/f(x)=(1/2)/[tan(x/2)cos^2(x/2)]=(1/2)/[sin(x/2)cos(x/2)]=1/sin(x)
となります。

y''=-cos(x)/sin^2(x)

回答No.1

noname#232123

dy/dx={1/(tan(x/2))}*(1/2)*(sec(x/2))^2
={cos(x/2)/sin(x/2)}*(1/2)*{1/(cos(x/2))^2}=1/(2*sin(x/2)*cos(x/2)}
=1/sinx.
d^y/dx^2=-(sinx)^(-2)*cosx=-cosecx*cotx.