微分方程式 初期値問題

質問

参考書見ながら考えてもよく分からなかったので
質問させてください。

y' = 2y-4
y(0) = -1

この初期値問題の解を求めよ
という問題です。

答えは
y=-3e^2x+2
と書いてあります。

なぜこのような答えになったのか分かりません。

どなたか
計算過程を教えてくれませんか？

回答No.1

noname#178261 · ベストアンサー

有ってる保証は出来ませんが解が一致したので多分大丈夫です
y(x)-2=u(x)とおくと
dy/dx=du/dx
よって与式はu'=2uという微分方程式に書き換えられる
変数分離してu'/u=2
両辺xで積分すると
∫du/u=2x+Ｃ
つまりlog|u|=2x+Ｃ
u=±e^(2x+Ｃ)
±e^Ｃの部分を新たな積分定数Ｃで置き換えると
u(x)=Ｃe^2x―(1)
y(x)-2=u(x)よりu(0)=y(0)-2=-3
(1)よりu(0)=ＣだからＣ=-3
よってu(x)=-3e^2x
最後にy(x)-2=u(x)であることを考慮して解は
y=-3e^2x +2

回答No.3

alice_44

y' + (-2)y = -4 の両辺を e^(-2x) 倍すると、
y'e^(-2x) + y{(-2)e^(-2x)} = (-4)e^(-2x) となって、
{ye^(-2x)}' = 2{e^(-2x)}' とまとめられる。
積分して、ye^(-2x) = 2e^(-2x) + C (C は定数).
x = 0 を代入すると、(-1)・1 = 2・1 + C より C = -3.
以上より、y = 2 - 3e^(2x).

回答No.2

yyssaa

＞y'-2y=-4をy'-2y=-4e^0xとして非同次微分方程式として解くと、
y'-2y=-4の基本解y1はDを微分演算子として(D-2)y=0からCを定数
としてy1=Ce^2x。
特解y2は(D-2)y=-4e^(0x)からy2={-4e^(0x)}/(-2)=2
よってy'-2y=-4の解はy=y1+y2=Ce^2x+2
初期条件はx=0でy=-1だから-1=Ce^0+2=C+2からC=-3
よってy=-3e^2x+2。