微分方程式の問題です。

質問

微分方程式の逆演算子の問題なんですが、
(D^2+D+1)y=x^3-2　という問題なんですが、まず特性方程式でひとつの特殊解をみつけて
次にもうひとつの特殊解を見つけるわけなんですが
y=(x^2-2)/(D^2+D+1)　と変形したんですが因数分解も出来なくどうすればいいのかわかりません。
y=e^(-x/2) (Asin(3^1/2*x /2)+Bcos(3^1/2*x /2))+x^3-3x^2+4
の答えになります。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

＞(D^2+D+1)y=x^3-2
こういう類の微分方程式の解法は
特殊解と
右辺をゼロと置いた斉次方程式(D^2+D+1)y＝０…（A)の一般解
を加え得られます。

最初の特殊解は方程式を満たす解を何でも１つだけ見つければいいわけで、右辺を見てy=ax^3+bx^2+cx+dの形だと分かりますので代入して各次の係数比較からa,b,c,dを決めてやればいいですね。この特殊解には任意定数は入りません。

（A)の一般解は特性方程式（Dをsで置き換えた式）
s^2＋s+1＝0から求めます。
s＝(-1±i√3)/2
から、斉次方程式の一般解は
y＝e^(-x/2){A*sin{(√3)x/2}+B*cos{(√3)x/2}
が出てきます。
A,Bは任意定数ですね。任意定数だから一般解と呼ぶわけです。

回答No.2

fjfsgh

＞y=(x^2-2)/(D^2+D+1)　と変形したんですが因数分解も出来なくどうすればいいのかわかりません。

演算子法
1/(D^2+D+1)=1+(-D-D^2)^2+(-D-D^2)^3+…
を使っても、特殊解が見つかります。