以下のオイラーの微分方程式の解き方がわかりません

質問

x^2y'' + 4xy' + 2y = e^x

という微分方程式です。答えだけ問題集に載っていたので導出過程を教えていただきたいです。
答えは

y = C1/x + C2/x^2 + e^x/x^2

です。
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公式のようにx = e^tとおいてみましたが

(d^2y/dt^2)+3(dy/dt)+2y=e^e^t

となり、特殊解を求めるときに、
右辺のe^e^tをうまく積分することができませんでした。
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よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

x^2y'' + 4xy' + 2y = x^2y'' + 2xy' + 2(xy' + y) = (x^2y' + 2xy)' = (x^2y)''

お礼

とてもスマートな解き方ですね。
ありがとうございます。

回答No.2

okormazd

∫e^t・e^(e^t) dt

とか、

∫e^2t・e^(e^t) dt

がでてくるのなら、

∫e^t・e^(e^t) dt=∫(e^(e^t) )'dt=e^(e^t)

∫e^2t・e^(e^t) dt=∫e^t・e^t・e^(e^t) dt=∫e^t・(e^(e^t))' dt

=e^t・e^(e^t)-∫e^t・e^(e^t) dt=e^t・e^(e^t)-∫(e^(e^t))' dt=e^t・e^(e^t)-e^(e^t)

とかになりませんか。

お礼

ご回答ありがとうございます。