ベイズの定理を使った赤玉

質問

大学の課題で詰まったところがあるので、解説付きで答えを教えてほしいです。

箱Ａには　赤玉3個　白玉7個
箱Ｂには　赤玉6個　白玉4個
初めにサイコロをなげ1または2の目が出たら箱Ａを、３～６の目が出たら箱Ｂを選ぶ。色を確認したら元の箱にその球を戻して同じことを繰り返す。箱の選択は玉を取り出す前に１回だけ行うものとする。（サイコロはふり箱が決まったら、その後は選択した箱から玉を取出し色を確認。その球を元の箱に戻し再び同じ箱から玉をと出す動作を繰り返すということを意味する。）

１、１球目が白であったとき、２球目も白である確率

２、１球とったときそれが赤玉である確率

３、n球とも白であったとき、箱Ａから選ばれた確率はどのようにあらわされるか

marchクラスの大学で出題される問題らしいのですが、どうしても理解できなく＾＾；
すみませんがお願いします。

回答No.1

yyssaa

＞
箱Aが選択されるという事象を"A"
箱Bが選択されるという事象を"B"
取り出した球が白であるという事象を"白"とすると、
P(A)=2/6=1/3、P(B)=4/6=2/3、
箱Aから取り出した球が白である確率P_A(白)=7/10
箱Bから取り出した球が白である確率P_B(白)=4/10=2/5
１、１球目が白であったとき、２球目も白である確率
＞1球目が白であったとき、その箱がAである確率P_白(A)は
ベイズの定理により
P_白(A)=P(A)*P_A(白)/{P(A)*P_A(白)+P(B)*P_B(白)}
=(1/3)*(7/10)/{(1/3)*(7/10)+(2/3)*(2/5)}=7/15
同様の計算でその箱がBである確率P_白(B)は8/15
よって、2球目も白である確率は
(7/15)*(7/10)+(8/15)*(2/5)=27/50・・・答
２、１球とったときそれが赤玉である確率
＞P(A)*P_A(赤)+P(B)*P_B(赤)
=(1/3)*(3/10)+(2/3)*(6/10)=1/2・・・答
３、n球とも白であったとき、箱Ａから選ばれた確率はどのようにあらわされるか
＞n球とも白という事象を"n白"とすると、P_A(n白)=(7/10)^n
P_B(n白)=(4/10)^n、よって、その箱がAである確率P_n白(A)は
P_n白(A)=P(A)*P_A(n白)/{P(A)*P_A(n白)+P(B)*P_B(n白)}
=(1/3)*(7/10)^n/{(1/3)*(7/10)^n+(2/3)*(4/10)^n}
=7^n/(7^n+2*4^n)=1/{1+2*(4/7)^n}・・・答