条件付確率の問題ですー高校数学

質問

下記の問題がよくわかりません。

箱Ａに白玉４個と赤玉５個、箱Ｂに白玉３個と赤玉２個と青玉７個が入っている。まず、さいころを投げて１，２，３，６がでたら箱Ａを、それ以外が出たら箱Ｂを選び、次にその箱の中から玉を１個取り出すものとする。取り出された玉の色が白であったとき、それが箱Ｂから取り出された確率を求めなさい。

まず、箱Ｂになる確率が2/6、箱Ｂの中から白を取り出すのが3/12なので、2/6*3/12 = 1/12ではないでしょうか。

箱がＡかＢか分からないときは、白玉を取る確率をP(w)、箱Ａを取る確率をP(A)とすると、
Pw(A) = P(Aかつw) / P(A)
の公式を使って解くことになると思いますが。よろしくお願いします。

回答No.3

QoooL · ベストアンサー

悩みはよーくわかりますよ。

でも、確率というのは、
例えば、５２枚のトランプの中から

（１）スペードの１３枚だけを選んで（13/52）、
その後その１３枚の中からエースを選んで（1/13）も、

（２）エースの４枚だけを選んで（4/52）、
その後その４枚の中からスペードを選んで（1/4）も、

（13/52）ｘ（1/13）＝（1/52）
（4/52）ｘ（1/4）＝（1/52）
いきなり最初からスペードのエースを狙い打ちしても（1/52）

まあ言い訳じゃないですけどちょっと眠たいんで、
確率でないことを確率っぽく言ってることに今反省しながら書いていますけど、

　　　どんな経路をたどっても、考え方さえ正しければ計算結果は同じ

ということだけは伝わることを祈っています。

それに、掛け算というのは、
（13/52）ｘ（1/13）　も　（1/13）ｘ（13/52）　も　計算結果は同じです。

というわけで、
ＡＢを選んでから、白赤青（４：５：０または３：２：７）を選んでも、
白赤青（４：５：０または３：２：７）を選んでから、ＡＢを選んでも（？）
計算的には変わらないのです。

だからと言って、問題を解く時に
　　「まず白赤青４：５：０の中から白を選んで」　と考え始めたらダメ！
ですよ。あくまでロジックの話をしています。

えっとですね。
一種の逆算というか、さかのぼりですよ。場合の数で樹形図を時々描くでしょう。あれを、
　　　幹　→　枝　→　葉　　ではなく
　　　葉　→　枝　→　幹　　という逆順でおおもとをたどるのです。

白が出た、という事実そのものは変わりません。
でも、原因調査をすると、
Ａ経路で白が出たのか、
Ｂ経路で白が出たのか、

その２つ以外のケース以外は考えられない、となるのです。

となると、
白が出たことはわかっているもとで、それがＢ経路だった確率　というものも机上では計算できるのですよ。

メンデルの遺伝で、
父Ａｏ　と　母Ａｏ　から　子Ａｏ　が生まれたときに、このｏは父からもらったのか母からもらったのか、と考えるのと似ています。
ｏをもらったのは紛れもない事実で、どうやってｏを受け取ったのか、を考えると２通り考えられるから、父からもらった確率は２分の１、という理屈です。だいぶ端折りましたけど。

お礼

QoooLさま

たびたび、有難うございます。

問題文の読み方が足りなかったようです。
了解できました。

回答No.4

yyssaa

＞箱Aが選ばれる確率P(A)=4/6=2/3
箱Bが選ばれる確率P(B)=1-2/3=1/3
箱Aから白玉が取り出される確率P(白|A)=4/9
箱Bから白玉が取り出される確率P(白|B)=3/5
箱Aが選ばれて白玉が取り出される確率=P(A)*P(白|A)
箱Bが選ばれて白玉が取り出される確率=P(B)*P(白|B)
白玉が取り出されて、それが箱Bからの事後確率P(B|白)は、
ベイズの定理により、
P(B|白)=P(B)*P(白|B)/{P(B)*P(白|B)+P(A)*P(白|A)}
=(1/3)*(3/5)/{(1/3)*(3/5)+(2/3)*(4/9)}=27/67・・・答

回答No.2

QoooL

＞　しかし、この問題では、サイコロを振って４か５がでた場合は箱Ｂが決まります。そこから白玉を取り出すので、1/12ではないでしょうか。

そこは誤解ですね。

例えば緑玉と黄玉の上からスプレーかチョークで白色を塗ったとすると、白い玉は７個になって、区別がつかないわけです。

で、問題文の読み方が誤解を誘ったのかも知れないけど、
＞　取り出された玉の色が白であったとき、
と書いてあるのは、
　　「さいころを振って箱を選ぶところから含めて」白が出る確率
です。
Ａの箱を選んで白玉（緑）が出る確率と、
Ｂの箱を選んで白玉（黄）が出る確率の、合計
です。
Ａの箱が選ばれるのとＢの箱が選ばれるのは排反ですから、足し算になるのはわかりますね。
P(w)＝P(A)ｘPa(w) + P(B)ｘPb(w)
＝P(A∩w) + P(B∩w)
＝16/54＋6/72＝41/108

ここに、　　　
Pa(w)は　Aが起きた（Aの箱が選ばれた）もとで　wが起きる（白玉が選ばれる）条件付き確率
すなわち、4/9

Pb(w)は　Bが起きた（Bの箱が選ばれた）もとで　wが起きる（白玉が選ばれる）条件付き確率
すなわち、3/12

です。白玉が出る確率が、このような日本語で表現されることを、よく考えてください。
ちなみに、
P(A)＝4/6
P(B)＝2/6
なので
P(A∩w)＝P(A)ｘPa(w)＝4/6 x 4/9
P(B∩w)＝P(B)ｘPb(w)＝2/6 x 3/12
（A∩wは、Aかつw　の意味）

＞　箱がＡかＢか分からないときは、白玉を取る確率をP(w)、箱Ａを取る確率をP(A)とすると、
＞　Pw(A) = P(Aかつw) / P(A)
＞　の公式を使って解くことになると思いますが。よろしくお願いします。

ここで、なぜAに注目しているのですか？
＞　白であったとき、それが　「箱Ｂ」　から取り出された確率を求めなさい。

と書いているでしょう？
　　　P(B∩w)＝P(B)ｘPb(w)
　　　Pb(w)＝P(B∩w)／P(B)
ですよ。
で、時間的に逆（本来は、白（緑か黄）が出てからBを選ぶのではない）ですが、計算上は
　　　Pw(B)＝P(B∩w)／P(w)
　　　P(B∩w)＝P(w)ｘPw(B)
とも書けます。
しかしこの場合に、P(w)　がわからないといけません。
（Aが選ばれたにせよ、Bが選ばれたにせよ、結果が白である確率）
だから上のように求めました。

　　　P(B∩w)＝P(B)ｘPb(w)
　　　P(B∩w)＝P(w)ｘPw(B)
と両方書けることがポイントです。

で、選ばれた白玉を爪でこすって下地を見たら、緑か黄かがわかる、という仕組みです。
16/54　で　緑が出て、
6/72　で　黄が出るなら、
緑か黄が出る確率は　41/108　ですが、

緑か黄が出たもとで（白が出たもとで）黄が出ていた確率は
（6/72）／（41/108）　です。

Ｙ／（Ｘ＋Ｙ）、黄／（緑＋黄）　という形の式です。

補足

QoooLさま
有難うございます。

＞＞　箱がＡかＢか分からないときは、白玉を取る確率をP(w)、箱Ａを取る確率をP(A)とすると、
＞＞　Pw(A) = P(Aかつw) / P(A)
＞＞　の公式を使って解くことになると思いますが。

誤解を生んでしまいました。これは、一般的な公式を書いたつもりでした。wとかAには意味はありません。スミマセン。

＞で、時間的に逆（本来は、白（緑か黄）が出てからBを選ぶので＞はない）ですが、計算上は

気になっているところが、まさにここです。
Aから取ったかBから取ったか分からないときは、おっしゃられる通りの公式を使います。しかし、サイコロを振ってBに決定している後なので公式Pw(B)＝P(B∩w)／P(w)は使えないのではないでしょうか。

問題集を何冊か読みましたが、いずれも箱AかBかわからない前提での問題でした。従って、公式を適用して解いていました。

何度もスミマセン。

回答No.1

QoooL

＞　まず、箱Ｂになる確率が2/6、箱Ｂの中から白を取り出すのが3/12なので、2/6*3/12 = 1/12ではないでしょうか。

答えはそれでは不充分です。

説明のために、問題を少し作り変えましょう。

箱Ａに入っている白玉を　緑玉、
箱Ｂに入っている白玉を　黄玉
と呼ぶことにします。

～から玉を１個取り出すものとする。取り出された玉の色が白であったとき、それが箱Ｂから取り出された確率を求めなさい。
↓
～から玉を１個取り出すものとする。取り出された玉の色が緑か黄であったとき、それが黄である確率を求めなさい。

箱Ｂになる確率が2/6、箱Ｂの中から黄を取り出すのが3/12なので、
　　　2/6*3/12 = 1/12
です。考え方は良いです。

箱Ａになる確率が4/6、箱Ａの中から緑を取り出すのが4/9なので、
　　　4/6*4/9 = 16/54　（私はあまり約分しません。どうせ通分することが多いから。）
です。

ちなみに、求める必要ないですけど
箱Ａになる確率が4/6、箱Ａの中から赤を取り出すのが5/9なので、
Ａ赤　4/6*5/9 = 20/54
箱Ｂになる確率が2/6、箱Ｂの中から赤を取り出すのが2/12なので、
Ｂ赤　2/6*2/12 = 4/72
箱Ｂになる確率が2/6、箱Ｂの中から赤を取り出すのが7/12なので、
Ｂ赤　2/6*7/12 = 14/72

Ａ緑　4/6*4/9 = 16/54
Ｂ黄　2/6*3/12 = 6/72
と合わせると、
16/54＋20/54＝36/54＝2/3
6/72＋4/72＋14/72＝24/72＝1/3

16/54＋20/54＋6/72＋4/72＋14/72＝1
です。。

緑か黄
P(w)＝16/54＋1/12＝41/108

黄
P(Bかつw) ＝1/12

求める確率の分母は、
P(Aかつw)　と　P(Bかつw)　の両方　（つまりP(w)、これ以外にｗは起こらない　★）
分子は
P(Bかつw)

（1/12）／（41/108）＝9/41

これが答えです。

後は頭の中で、緑や黄を白に戻してください。
条件付き確率だ、ということは合っていますよ。★の部分をよく考えてください。

補足

QoooLさま

早速、レス有難うございます。

箱がＡかＢか分からないときは、白玉を取る確率をP(w)、箱Ａを取る確率をP(A)とすると、
Pw(A) = P(Aかつw) / P(A)
の公式を使って解くことになると思いますが。

よく問題集に「でたらめに箱を選んで、玉を取り出したら、白だったときにそれが箱Ｂのものである確率を求めなさい」とあります。目隠しをして玉を取り出したら、白だった。という時は、どちらの箱か分からないので、「箱Ｂである確率を求めなさい」という場合に、上の公式を使うのではないでしょうか。
しかし、この問題では、サイコロを振って４か５がでた場合は箱Ｂが決まります。そこから白玉を取り出すので、1/12ではないでしょうか。
度々、すみませんがよろしくお願いします。