follandの本の意味がわかりません

質問

the function x→|x|のa乗 is integralable on aneighborhood of 0 if and only if a>-n,andit is integralable outside a neighborhood of 0if and only a<-n　のいっている意味がわかりません。特にオンとアウトサイドの違いが分かりません。ちなみに文献はfollandのintrodution to partial differential equationsです。7ぺーじのprop５です。xはｎ次元です

回答No.1

ask-it-aurora

文字通りに解釈するならn次元ベクトルをそのノルムのa乗に対応させる関数がどの領域で可積分か書いてあるだけです．

原点の近傍で可積分 ⇔ a > -n
原点の近傍の補集合で可積分 ⇔ a < -n

文脈や偏微分方程式についてはサッパリなので，勘違いがあるかもしれませんが，たぶん合っているでしょう．たとえば1次元ユークリッド空間上の関数 f(x) = |x|^a と原点のε-近傍でイメージすれば常識的な主張でしょう．