行列の証明問題

質問

1. Suppose A is positive definite and symmetric. Prove that all the eigenvalues of A are positive. What can you say of these eigenvalues if A is a positive semidefinite matrix?
2. Prove that the sum of two symmetric positive definite matrices A, B ∈ Rd×d is positive definite.
3. Prove that if A is symmetric positive definite, then det A > 0 and thus A is invertible. On the contrary, show that if det A > 0, then A is not necessarily positive definite (you just need to provide a counterexample).
4. Prove that if A is positive semidefinite and λ > 0, then (A + λI) is positive definite.
5. Prove that if X ∈ Rd×n then XXT and XT X are both positive semidefinite.
6. Prove that if X ∈ Rd×n has rank d, then XXT is positive definite (invertible).
7. Let X ∈ Rd×n be a matrix, and Y ∈ Rn. Prove that minα∈Rd∥XTα－Y∥2 +λ∥α∥2 is attained for α = (XXT + λI)－1XY .

回答No.2

alice_44

内容が数学だと、英語カテでは教えてくれないのかな？
和訳してあげましょう。

1. A を正定値な対称(行列)であるとする。A の全ての固有値は正数であることを示せ。
　　A が半正定値な行列であるとき、その固有値について何が言えるか？
2. ふたつのの実 d 次正定値対称行列 A, B の和は、正定値であることを示せ。
3. A が正定値な対称(行列)であれば、det A > 0、よって A は正則であることを示せ。
　　対して、det A > 0 であっても、A は正定値とは限らないことを示せ。
　　(反例をひとつ挙げればよい。)
4. A が半正定値(な行列)で、λ > 0 であれば、A + λI は正定値であることを示せ。
　　(訳注: I は単位行列と思われるが、その説明は無い。)
5. X が実 d×n 行列であれば、XXT および XT X はどちらも半正定値であることを示せ。
　　(訳注: XT は X の転置と思われるが、その説明は無い。)
6. 実 d×n 行列 A の階数が d であれば、XXT は正定値(よって正則)であることを示せ。
7. X を実 d×n 行列、Y を実 n 次ベクトルであるとする。実 d 次ベクトル α について
　　∥XTα - Y∥2 + λ∥α∥2 が最小値となるのは、α = (XXT + λI) - 1XY のとき
　　であることを示せ。

問題は、型どおりの演習で、どこの教科書にも載ってる類のものです。

回答No.1

Tacosan

この英文がどうかしたんですか?

補足

解いてください
お願いします