部分位相空間で"継承する"の意味は? 何を証明すればいい?

質問

こんにちは。

Show that if Y is a subspace of X, and A is a subset of Y, then the topology A inherits as a subspace of Y is the same as the topology it inherits as a subspace of X.

「もし,YがXの部分空間でAはYの部分集合なら位相Aは部分空間Yがそれが継承する位相と同じように継承する」

という問題なのですか

位相(X,T)において位相空間(Y,{Y∩U∈2^X;U∈T})があってA⊂Y、、、、それから、、、

"継承する"っていういう意味でしょうか。何を示せばいいのでしょうか?

回答No.3

muturajcp

A⊂Y⊂X
Xの位相をT_x
Yの位相をT_y
AのXに対する相対位相をT_ax
AのYに対する相対位相をT_ay

G∈T_ay　とすると
→G=A∩U, U∈T_y　となる　U　がある
→U=Y∩V, V∈T_x　となる　V がある
A∩Y=A だから
→G=A∩Y∩V=A∩V　,　V∈T_x
→G∈T_ax
→T_ay⊂T_ax

G∈T_ax　とすると
→G=A∩V　,　V∈T_x　となる　V　がある
A=A∩Y だから
→G=A∩Y∩V　,　Y∩V∈T_y
→G∈T_ay
→T_ax⊂T_ay

→T_ax=T_ay

回答No.2

koko_u_

>よって
>∀G∈T_ay,G=A∩U (但しU∈T_yx) =A∩(Y∩U) (但しU∈T_x) (∵def of T_yx)
>=A∩U (∵A⊂Y) ∈T_ax

残念ながら誤っています。

お礼

ありがとうございます。

>>∀G∈T_ay,G=A∩U (但しU∈T_yx) =A∩(Y∩U) (但しU∈T_x) (∵def of T_yx)
>>=A∩U (∵A⊂Y) ∈T_ax
> 残念ながら誤っています。

Xの位相をT_x,Xの部分空間Yの位相(つまり相対位相)をT_yx={Y∩U;U∈T_x}とすると
AがXの部分空間の時の相対位相はT_ax={A∩U;U∈T_x},
AがYの部分空間の時の相対位相はT_ay={A∩U;U∈T_yx}となると思います。
それでT_ax=T_ayとなる事を示せばいいのですね。

よって
∀G∈T_ay,G=A∩U (但しU∈T_yx) =A∩(Y∩U) (但しU∈T_x) (∵def of T_yx)
=A∩U (∵A⊂Y) ∈T_ax

大丈夫だと思いますが…。どこが間違っているのでしょうか?

回答No.1

koko_u_

A を Y の部分位相空間としたものと、X の部分位相空間としたものが同じ位相空間であることを示して下さい。

ここで言う inherit とは部分集合に相対位相を入れるという意味。

お礼

>A を Y の部分位相空間としたものと、X の部分位相空間としたものが同じ位相空間であることを示して下さい。
> ここで言う inherit とは部分集合に相対位相を入れるという意味。

ありがとうございます。

Xの位相をT_x,Xの部分空間Yの位相(つまり相対位相)をT_yx={Y∩U;U∈T_x}とすると
AがXの部分空間の時の相対位相はT_ax={A∩U;U∈T_x},
AがYの部分空間の時の相対位相はT_ay={A∩U;U∈T_y}となると思います。
それでT_ax=T_ayとなる事を示せばいいのですね。

よって
∀G∈T_ay,G=A∩U (但しU∈T_yx) =A∩(Y∩U) (但しU∈T_x) (∵def of T_yx)
=A∩U (∵A⊂Y) ∈T_ax

逆も同様。
従って T_ax=T_ayとなるのですね。